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山东省济南市天桥区2017年中考数学一模试卷(含解析)


2017 年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分) 1.﹣ 的相反数是( )
A. B. C. D. 2.我国最新研制的巨型计算机“曙光 3000 超级服务器”,它的运算峰值可以达到每秒 403200000000 次.这个数字用科学记数法来表示( ) A.4032×108 B.4.032×1010 C.4.032×1011 D.4.032×1012 3.下列运算正确的是( ) A.x3+x2=x5 B.2x3?x2=2x6 C.(3x3)2=9x6 D.x6÷x3=x2 4.下面几个几何体,主视图是圆的是( )

A.

B.

C.

D.

5.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

6.如图,直线 m∥n,∠1=70°,∠2=30°,则∠A 等于( )

A.30° B.35° C.40° D.50°

7.化简

的结果是( )

A.a+b B.b﹣a C.a﹣b D.﹣a﹣b 8.如图,将△PQR 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,则顶点 P 平移后的 坐标是( )

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A.(﹣2,﹣4) B.(﹣2,4) C.(2,﹣3) D.(﹣1,﹣3) 9.函数 y=kx+b(k、b 为常数,k≠0)的图象如图,则关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集为( )
A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2 10.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球,如果袋中有红球 5 个,黄球 4 个,其余为白球,从袋子中随机摸出一个球,“摸出黄球”的概率为 ,则袋中白球的个数 为( ) A.2 B.3 C.4 D.12 11.如图,将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15 度得到△AEF,若 AC= ,则阴影 部分的面积为( )

A.1 B. C. D.

12.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为 100 元的药品进行连 续两次降价后为 81 元.设平均每次降价的百分率为 x,则下列方程正确的是( ) A.100(1﹣x)2=81 B.81(1﹣x)2=100 C.100(1﹣2x)=81 D.81(1﹣2x)=100

13.如图,已知直线 l:

,过点 A(0,1)作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B,过点 B 作

直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂
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线交 y 轴于点 A2;…;按此作法继续下去,则点 A4 的坐标为( )

A.(0,128) B.(0,256) C.(0,512) D.(0,1024) 14.如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,△AEF 是等边三角形,连接 AC 交 EF 于点 G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中 结论正确的个数为( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 15.已知抛物线 y=ax2+bx+c(b>a>0)与 x 轴最多有一个交点,现有以下四个结论: ①该抛物线的对称轴在 y 轴左侧; ②关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根; ③a﹣b+c≥0;



的最小值为 3.

其中,正确结论的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 16.分解因式:x2+xy= . 17.计算: ﹣2+(﹣2)0= . 18.有一组数据:2,a,4,6,7,它们的平均数是 5,则这组数据的中位数是 . 19.如图,△ABC 中∠C=90°,若 CD⊥AB 于 D,且 BD=4,AD=9,则 tanA= .
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20.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点 D 在 AB 上,若以点 D 为圆心,AD 为半径的 圆与 BC 相切,则⊙D 的半径为 .
21.如图,点 A 为函数 y= (x>0)图象上一点,连结 OA,交函数 y= (x>0)的图象于 点 B,点 C 是 x 轴上一点,且 AO=AC,则△ABC 的面积为 .

三、解答题(本大题共 7 小题,共 57 分) 22.(1)化简:a(a﹣2b)+(a+b)2

(2)解不等式组

,并把解集在数轴上表示出来.

23.(1)如图 1,在平行四边形 ABCD 中,已知点 E 在 AB 上,点 F 在 CD 上,且 AE=CF.求证: DE=BF; (2)如图 2,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点 D,若∠C=20°,

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求∠CDA 的度数.
24.甲、乙两公司各为“希望工程”捐款 2000 元.已知乙公司比甲公司人均多捐 20 元,且 乙公司的人数是甲公司人数的 ,问甲、乙两公司人均捐款各多少元? 25.为了解学生体育训练的情况,某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体 育科目测试(把成绩结果分为四个等级:A 级:优秀;B 级:良好;C 级:及格;D 级:不及 格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题: (1)求本次抽样测试的学生人数; (2)求扇形图中∠α 的度数,并把条形统计图补充完整; (3)该市九年级共有学生 9000 名,如果全部参加这次体育测试,则测试等级为 D 的约有多 少人?
26.如图,已知点 D 在反比例函数 y= 的图象上,过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 B(0, 3).过点 A(5,0)的直线 y=kx+b 与 y 轴于点 C,且 BD=OC,tan∠OAC= . (1)求反比例函数 y= 和直线 y=kx+b 的解析式; (2)连接 CD,试判断线段 AC 与线段 CD 的关系,并说明理由; (3)点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点,且 AE=OC,连接 BE 交直线 CA 与点 M,求∠BMC 的度数.
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27.如图,正方形 OABC 的边 OA,OC 在坐标轴上,点 B 的坐标为(﹣4,4).点 P 从点 A 出 发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动;点 Q 从点 O 同时出发,以相同的速度沿 x 轴的正方向运动,规定点 P 到达点 O 时,点 Q 也停止运动.连接 BP,过 P 点作 BP 的垂线, 与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 D.BD 与 y 轴交于点 E,连接 PE.设点 P 运动的时间 为 t(s). (1)∠PBD 的度数为 ,点 D 的坐标为 (用 t 表示); (2)当 t 为何值时,△PBE 为等腰三角形? (3)探索△POE 周长是否随时间 t 的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个 定值.
28.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0),D(3,4),E(0, 4).点 A 在 DE 上,以 A 为顶点的抛物线过点 C,且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B.连接 EC,AC.点 P,Q 为动点,设运动时间为 t 秒. (1)填空:点 A 坐标为 ;抛物线的解析式为 . (2)在图①中,若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动,同时,点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之 停止运动.当 t 为何值时,△PCQ 为直角三角形?
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(3)在图②中,若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动,过点 P 做 PF⊥AB,交 AC 于点 F,过点 F 作 FG⊥AD 于点 G,交抛物线于点 Q,连接 AQ,CQ.当 t 为 何值时,△ACQ 的面积最大?最大值是多少?
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2017 年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分) 1.﹣ 的相反数是( )
A. B. C. D. 【考点】相反数. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数. 【解答】解: 的相反数是 , 故选:D.
2.我国最新研制的巨型计算机“曙光 3000 超级服务器”,它的运算峰值可以达到每秒 403200000000 次.这个数字用科学记数法来表示( ) A.4032×108 B.4.032×1010 C.4.032×1011 D.4.032×1012 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的 值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 403200000000 用科学记数法表示为:4.032×1011. 故选:C.
3.下列运算正确的是( ) A.x3+x2=x5 B.2x3?x2=2x6 C.(3x3)2=9x6 D.x6÷x3=x2 【考点】整式的混合运算. 【分析】结合整式混合运算的运算法则进行求解即可. 【解答】解:A、x3+x2≠x5,本选项错误; B、2x3?x2=2x5≠2x6,本选项错误; C、(3x3)2=9x6,本选项正确;
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D、x6÷x3=x3≠x2,本选项错误. 故选 C.
4.下面几个几何体,主视图是圆的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】分别判断 A,B,C,D 的主视图,即可解答. 【解答】解:A、主视图为正方形,故错误; B、主视图为圆,正确; C、主视图为三角形,故错误; D、主视图为长方形,故错误; 故选:B.

5.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可. 【解答】解:A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故 A 错误; B、是中心对称图形,不是轴对称图形,故 B 错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故 C 错误; D、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故 D 正确. 故选:D.

6.如图,直线 m∥n,∠1=70°,∠2=30°,则∠A 等于( )

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A.30° B.35° C.40° D.50° 【考点】平行线的性质. 【分析】首先根据平行线的性质求出∠3 的度数,然后根据三角形的外角的知识求出∠A 的 度数. 【解答】解:如图,∵直线 m∥n, ∴∠1=∠3, ∵∠1=70°, ∴∠3=70°, ∵∠3=∠2+∠A,∠2=30°, ∴∠A=40°, 故选 C.

7.化简

的结果是( )

A.a+b B.b﹣a C.a﹣b D.﹣a﹣b 【考点】分式的加减法. 【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.

【解答】解:原式= ﹣ =

=

=a+b,

故选 A

8.如图,将△PQR 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,则顶点 P 平移后的 坐标是( )

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A.(﹣2,﹣4) B.(﹣2,4) C.(2,﹣3) D.(﹣1,﹣3) 【考点】坐标与图形变化﹣平移. 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可. 【解答】解:由题意可知此题规律是(x+2,y﹣3),照此规律计算可知顶点 P(﹣4,﹣1) 平移后的坐标是(﹣2,﹣4). 故选 A.
9.函数 y=kx+b(k、b 为常数,k≠0)的图象如图,则关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集为( )

A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2 【考点】一次函数与一元一次不等式. 【分析】从图象上得到函数的增减性及与 x 轴的交点的横坐标,即能求得不等式 kx+b>0 的解集. 【解答】解:函数 y=kx+b 的图象经过点(2,0),并且函数值 y 随 x 的增大而减小, 所以当 x<2 时,函数值小于 0,即关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 x<2. 故选 C.

10.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球,如果袋中有红球 5 个,黄球 4

个,其余为白球,从袋子中随机摸出一个球,“摸出黄球”的概率为 ,则袋中白球的个数

为( A.2

) B.3

C.4

D.12

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【考点】概率公式.

【分析】首先设袋中白球的个数为 x 个,然后根据概率公式,可得:

式方程即可求得答案. 【解答】解:设袋中白球的个数为 x 个,

根据题意得:

=,

解得:x=3. 经检验:x=3 是原分式方程的解. ∴袋中白球的个数为 3 个. 故选 B.

= ,解此分

11.如图,将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 逆时针旋转 15 度得到△AEF,若 AC= ,则阴影 部分的面积为( )

A.1 B. C. D. 【考点】旋转的性质. 【分析】首先求得∠FAD 的度数,然后利用三角函数求得 DF 的长,然后利用三角形面积公 式即可求解. 【解答】解:∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠CAB=45°, 又∵∠CAF=15°, ∴∠FAD=30°, 又∵在直角△ADF 中,AF=AC= , ∴DF=AF?tan∠FAD= × =1,
∴S 阴影= AF?DF= × ×1= .
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故选 C.

12.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为 100 元的药品进行连 续两次降价后为 81 元.设平均每次降价的百分率为 x,则下列方程正确的是( ) A.100(1﹣x)2=81 B.81(1﹣x)2=100 C.100(1﹣2x)=81 D.81(1﹣2x)=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【分析】设平均每次的降价率为 x,则经过两次降价后的价格是 100(1﹣x)2,根据关键语 句“连续两次降价后为 81 元,”可得方程 100(1﹣x)2=81. 【解答】解:由题意得:100(1﹣x)2=81, 故选:A.

13.如图,已知直线 l:

,过点 A(0,1)作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B,过点 B 作

直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂 线交 y 轴于点 A2;…;按此作法继续下去,则点 A4 的坐标为( )

A.(0,128) B.(0,256) C.(0,512) D.(0,1024) 【考点】一次函数综合题. 【分析】根据所给直线解析式可得 l 与 x 轴的夹角,进而根据所给条件依次得到点 A1,A2 的坐标,通过相应规律得到 A4 坐标即可
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【解答】解:∵直线 l 的解析式为;y= x, ∴l 与 x 轴的夹角为 30°, ∵AB∥x 轴, ∴∠ABO=30°, ∵OA=1, ∴OB=2, ∴AB= , ∵A1B⊥l, ∴∠ABA1=60°, ∴A1O=4, ∴A1(0,4), 同理可得 A2(0,16), … ∴A4 纵坐标为 44=256, ∴A4(0,256). 故选 B.
14.如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,△AEF 是等边三角形,连接 AC 交 EF 于点 G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中 结论正确的个数为( )
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A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【考点】四边形综合题. 【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,得到 CE=CF;由 正方形的性质就可以得出∠AEB=75°;设 EC=x,由勾股定理得到 EF,表示出 BE,利用三角 形的面积公式分别表示出 S△CEF 和 2S△ABE,再通过比较大小就可以得出结论. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°. ∵△AEF 等边三角形, ∴AE=EF=AF,∠EAF=60°. ∴∠BAE+∠DAF=30°. 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中,
, Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF, ∴CE=CF,故①正确; ∵∠BAE=∠DAF, ∴∠DAF+∠DAF=30°, 即∠DAF=15°, ∴∠AEB=75°,故②正确; 设 EC=x,由勾股定理,得 EF= x,CG= x,
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x, ∴AG≠2GC,③错误; ∵CG= x,AG= x,
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∴AC=

x

∴AB=AC? =

x,

∴BE=

x﹣x=

x,

∴BE+DF=( ﹣1)x, ∴BE+DF≠EF,故④错误; ∵S△CEF= x2,

S△ABE= ×BE×AB=



∴2S△ABE═S△CEF,故⑤正确. 综上所述,正确的有 3 个, 故选:B.

x= x2,

15.已知抛物线 y=ax2+bx+c(b>a>0)与 x 轴最多有一个交点,现有以下四个结论: ①该抛物线的对称轴在 y 轴左侧; ②关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根; ③a﹣b+c≥0;



的最小值为 3.

其中,正确结论的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】抛物线与 x 轴的交点;二次函数图象与系数的关系;二次函数的最值. 【分析】从抛物线与 x 轴最多一个交点及 b>a>0,可以推断抛物线最小值最小为 0,对称 轴在 y 轴左侧,并得到 b2﹣4ac≤0,从而得到①②为正确;由 x=﹣1 及 x=﹣2 时 y 都大于或 等于零可以得到③④正确. 【解答】解:∵b>a>0

∴﹣ <0,

所以①正确; ∵抛物线与 x 轴最多有一个交点, ∴b2﹣4ac≤0,

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∴关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 中,△=b2﹣4a(c+2)=b2﹣4ac﹣8a<0, 所以②正确; ∵a>0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点, ∴x 取任何值时,y≥0 ∴当 x=﹣1 时,a﹣b+c≥0; 所以③正确; 当 x=﹣2 时,4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a a+b+c≥3(b﹣a) ≥3 所以④正确. 故选:D.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 16.分解因式:x2+xy= x(x+y) . 【考点】因式分解﹣提公因式法. 【分析】直接提取公因式 x 即可. 【解答】解:x2+xy=x(x+y).
17.计算: ﹣2+(﹣2)0= 2 . 【考点】实数的运算;零指数幂. 【分析】原式利用算术平方根定义,以及零指数幂法则计算即可得到结果. 【解答】解:原式=3﹣2+1=2, 故答案为:2
18.有一组数据:2,a,4,6,7,它们的平均数是 5,则这组数据的中位数是 6 . 【考点】中位数;算术平均数. 【分析】根据平均数为 5,求出 a 的值,然后根据中位数的概念,求解即可. 【解答】解:∵该组数据的平均数为 5,
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∴a=6, 将这组数据按照从小到大的顺序排列为:2,4,6,6,7, 可得中位数为:6, 故答案为:6.

19.如图,△ABC 中∠C=90°,若 CD⊥AB 于 D,且 BD=4,AD=9,则 tanA=



【考点】解直角三角形. 【分析】先证明△BDC∽△CDA,利用相似三角形的性质求出 CD 的长度,然后根据锐角三角 函数的定义即可求出 tanA 的值. 【解答】解:∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A, ∵CD⊥AB, ∴∠BDC=∠CDA=90°, ∴△BDC∽△CDA, ∴CD2=BD?AD, ∴CD=6, ∴tanA= =
故答案为:

20.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点 D 在 AB 上,若以点 D 为圆心,AD 为半径的

圆与 BC 相切,则⊙D 的半径为



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【考点】切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【分析】先画图,过点 D 作 DE⊥BC,则△BDE∽△BAC,根据相似三角形的性质,可求得⊙D 的半径. 【解答】解:过点 D 作 DE⊥BC, ∵∠C=90°, ∴DE∥AC, ∴△BDE∽△BAC,

∴=,

设⊙D 的半径为 r, ∵AC=6,BC=8,∴AB=10,





解得 r= ,

故答案为 .

21.如图,点 A 为函数 y= (x>0)图象上一点,连结 OA,交函数 y= (x>0)的图象于 点 B,点 C 是 x 轴上一点,且 AO=AC,则△ABC 的面积为 6 .
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【考点】反比例函数的图象;三角形的面积;等腰三角形的性质. 【分析】根据题意可以分别设出点 A、点 B 的坐标,根据点 O、A、B 在同一条直线上可以得 到 A、B 的坐标之间的关系,由 AO=AC 可知点 C 的横坐标是点 A 的横坐标的 2 倍,从而可以 得到△ABC 的面积. 【解答】解:设点 A 的坐标为(a, ),点 B 的坐标为(b, ), ∵点 C 是 x 轴上一点,且 AO=AC, ∴点 C 的坐标是(2a,0), 设过点 O(0,0),A(a, )的直线的解析式为:y=kx,





解得,k= ,

又∵点 B(b, )在 y= 上,



,解得, 或

(舍去),

∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC=

=



故答案为:6.

三、解答题(本大题共 7 小题,共 57 分) 22.(1)化简:a(a﹣2b)+(a+b)2

(2)解不等式组

,并把解集在数轴上表示出来.

【考点】解一元一次不等式组;完全平方公式;在数轴上表示不等式的解集.
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【分析】(1)先去括号,再合并同类项即可得; (2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:(1)原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2.
(2)由①得 x>2, 由②得 x<3, 把解集在数轴上表示:
∴不等式组的解集为 2<x<3.
23.(1)如图 1,在平行四边形 ABCD 中,已知点 E 在 AB 上,点 F 在 CD 上,且 AE=CF.求证: DE=BF; (2)如图 2,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点 D,若∠C=20°,
求∠CDA 的度数.
【考点】切线的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【分析】(1)根据平行四边形的性质可证 AB∥CD,AB=CD,又由已知可证 BE=DF,即证四边 形 BEDF 是平行四边形,故 DE=BF; (2)连接 OD,构造直角三角形,利用 OA=OD,可求得∠ODA=35°,从而根据∠CDA=∠CDO+ ∠ODA 计算求解. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是?ABCD, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵AE=CF, ∴BE=DF, ∴四边形 BEDF 是平行四边形, ∴DE=BF;
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(2)解:连接 OD,则∠ODC=90°,∠COD=70°; ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A= ∠COD=35°, ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°.
24.甲、乙两公司各为“希望工程”捐款 2000 元.已知乙公司比甲公司人均多捐 20 元,且 乙公司的人数是甲公司人数的 ,问甲、乙两公司人均捐款各多少元? 【考点】分式方程的应用. 【分析】首先根据题意,设甲公司人均捐款 x 元,则乙公司人均捐款 x+20 元,然后根据: 甲公司的人数× =乙公司的人数,列出方程,求出 x 的值,即可求出甲、乙两公司人均捐 款各多少元. 【解答】解:设甲公司人均捐款 x 元,则乙公司人均捐款 x+20 元,
×= 解得:x=80, 经检验,x=80 为原方程的根, 80+20=100(元) 答:甲、乙两公司人均捐款分别为 80 元、100 元.
25.为了解学生体育训练的情况,某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体 育科目测试(把成绩结果分为四个等级:A 级:优秀;B 级:良好;C 级:及格;D 级:不及 格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题: (1)求本次抽样测试的学生人数; (2)求扇形图中∠α 的度数,并把条形统计图补充完整;
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(3)该市九年级共有学生 9000 名,如果全部参加这次体育测试,则测试等级为 D 的约有多 少人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)根据 B 级的频数和百分比求出学生人数; (2)求出 A 级的百分比,360°乘百分比即为∠α 的度数,根据各组人数之和等于总数求 得 C 级人数即可补全图形; (3)根据样本估计总体思想,用 D 等级所占比例乘以总人数即可得. 【解答】解:(1)160÷40%=400, 答:本次抽样测试的学生人数是 400 人; (2) ×360°=108°, 答:扇形图中∠α 的度数是 108°; C 等级人数为:400﹣120﹣160﹣40=80(人),补全条形图如图:
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(3) ×9000=900(人), 答:测试等级为 D 的约有 900 人. 26.如图,已知点 D 在反比例函数 y= 的图象上,过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 B(0, 3).过点 A(5,0)的直线 y=kx+b 与 y 轴于点 C,且 BD=OC,tan∠OAC= . (1)求反比例函数 y= 和直线 y=kx+b 的解析式; (2)连接 CD,试判断线段 AC 与线段 CD 的关系,并说明理由; (3)点 E 为 x 轴上点 A 右侧的一点,且 AE=OC,连接 BE 交直线 CA 与点 M,求∠BMC 的度数.
【考点】反比例函数综合题. 【分析】(1)由 A 点坐标可求得 OA 的长,再利用三角函数的定义可求得 OC 的长,可求得 C、 D 点坐标,再利用待定系数法可求得直线 AC 的解析式;
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(2)由条件可证明△OAC≌△BCD,再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°,可证得 AC⊥CD; (3)连接 AD,可证得四边形 AEBD 为平行四边形,可得出△ACD 为等腰直角三角形,则可求 得答案. 【解答】解: (1)∵A(5,0), ∴OA=5.







,解得 OC=2,

∴C(0,﹣2), ∴BD=OC=2, ∵B(0,3),BD∥x 轴, ∴D(﹣2,3), ∴m=﹣2×3=﹣6,





设直线 AC 关系式为 y=kx+b, ∵过 A(5,0),C(0,﹣2),



,解得







(2)∵B(0,3),C(0,﹣2), ∴BC=5=OA, 在△OAC 和△BCD 中

∴△OAC≌△BCD(SAS), ∴AC=CD, ∴∠OAC=∠BCD,
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∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°, ∴AC⊥CD;
(3)∠BMC=45°. 如图,连接 AD,
∵AE=OC,BD=OC,AE=BD, ∴BD∥x 轴, ∴四边形 AEBD 为平行四边形, ∴AD∥BM, ∴∠BMC=∠DAC, ∵△OAC≌△BCD, ∴AC=CD, ∵AC⊥CD, ∴△ACD 为等腰直角三角形, ∴∠BMC=∠DAC=45°.
27.如图,正方形 OABC 的边 OA,OC 在坐标轴上,点 B 的坐标为(﹣4,4).点 P 从点 A 出 发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动;点 Q 从点 O 同时出发,以相同的速度沿 x 轴的正方向运动,规定点 P 到达点 O 时,点 Q 也停止运动.连接 BP,过 P 点作 BP 的垂线, 与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 D.BD 与 y 轴交于点 E,连接 PE.设点 P 运动的时间 为 t(s). (1)∠PBD 的度数为 45° ,点 D 的坐标为 (t,t) (用 t 表示); (2)当 t 为何值时,△PBE 为等腰三角形? (3)探索△POE 周长是否随时间 t 的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个
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定值.
【考点】四边形综合题;解一元一次方程;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质; 勾股定理;正方形的性质. 【分析】(1)易证△BAP≌△PQD,从而得到 DQ=AP=t,从而可以求出∠PBD 的度数和点 D 的 坐标. (2)由于∠EBP=45°,故图 1 是以正方形为背景的一个基本图形,容易得到 EP=AP+CE.由 于△PBE 底边不定,故分三种情况讨论,借助于三角形全等及勾股定理进行求解,然后结合 条件进行取舍,最终确定符合要求的 t 值. (3)由(2)已证的结论 EP=AP+CE 很容易得到△POE 周长等于 AO+CO=8,从而解决问题. 【解答】解:(1)如图 1, 由题可得:AP=OQ=1×t=t(秒) ∴AO=PQ. ∵四边形 OABC 是正方形, ∴AO=AB=BC=OC, ∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°. ∵DP⊥BP, ∴∠BPD=90°. ∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ. ∵AO=PQ,AO=AB, ∴AB=PQ. 在△BAP 和△PQD 中,
∴△BAP≌△PQD(AAS).
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∴AP=QD,BP=PD. ∵∠BPD=90°,BP=PD, ∴∠PBD=∠PDB=45°. ∵AP=t, ∴DQ=t. ∴点 D 坐标为(t,t). 故答案为:45°,(t,t).
(2)①若 PB=PE, 由△PAB≌△DQP 得 PB=PD, 显然 PB≠PE, ∴这种情况应舍去. ②若 EB=EP, 则∠PBE=∠BPE=45°. ∴∠BEP=90°. ∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC. 在△POE 和△ECB 中,
∴△POE≌△ECB(AAS). ∴OE=CB=OC. ∴点 E 与点 C 重合(EC=0). ∴点 P 与点 O 重合(PO=0). ∵点 B(﹣4,4), ∴AO=CO=4. 此时 t=AP=AO=4. ③若 BP=BE, 在 Rt△BAP 和 Rt△BCE 中,
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∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL). ∴AP=CE. ∵AP=t, ∴CE=t. ∴PO=EO=4﹣t. ∵∠POE=90°, ∴PE= = (4﹣t). 延长 OA 到点 F,使得 AF=CE,连接 BF,如图 2 所示. 在△FAB 和△ECB 中,
∴△FAB≌△ECB. ∴FB=EB,∠FBA=∠EBC. ∵∠EBP=45°,∠ABC=90°, ∴∠ABP+∠EBC=45°. ∴∠FBP=∠FBA+∠ABP =∠EBC+∠ABP=45°. ∴∠FBP=∠EBP. 在△FBP 和△EBP 中,
∴△FBP≌△EBP(SAS). ∴FP=EP. ∴EP=FP=FA+AP =CE+AP. ∴EP=t+t=2t. ∴ (4﹣t)=2t. 解得:t=4 ﹣4
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∴当 t 为 4 秒或(4 ﹣4)秒时,△PBE 为等腰三角形. (3)∵EP=CE+AP, ∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE =AO+CO =4+4 =8. ∴△POE 周长是定值,该定值为 8.
28.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0),D(3,4),E(0, 4).点 A 在 DE 上,以 A 为顶点的抛物线过点 C,且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B.连接 EC,AC.点 P,Q 为动点,设运动时间为 t 秒. (1)填空:点 A 坐标为 (1,4) ;抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣1)2+4 . (2)在图①中,若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动,同时,点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之 停止运动.当 t 为何值时,△PCQ 为直角三角形? (3)在图②中,若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动,过点 P 做 PF⊥AB,交 AC 于点 F,过点 F 作 FG⊥AD 于点 G,交抛物线于点 Q,连接 AQ,CQ.当 t 为 何值时,△ACQ 的面积最大?最大值是多少?
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【考点】二次函数综合题;三角形的面积;勾股定理;矩形的性质. 【分析】(1)根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点 A 坐标,根据待定系数法可得抛物线 的解析式; (2)先根据勾股定理可得 CE,再分两种情况:当∠QPC=90°时;当∠PQC=90°时;讨论可 得△PCQ 为直角三角形时 t 的值; (3)根据待定系数法可得直线 AC 的解析式,根据 S =S +S △ACQ △AFQ △CPQ 可得 S△ACQ=﹣ (t﹣2)2+1,
依此即可求解. 【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴为 x=1,矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0),D(3, 4),E(0,4),点 A 在 DE 上, ∴点 A 坐标为(1,4), 设抛物线的解析式为 y=a(x﹣1)2+4, 把 C(3,0)代入抛物线的解析式,可得 a(3﹣1)2+4=0, 解得 a=﹣1. 故抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣1)2+4,即 y=﹣x2+2x+3;

(2)依题意有:OC=3,OE=4,

∴CE=

=

=5,

当∠QPC=90°时,

∵cos∠QCP= = ,

∴ =,

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解得 t= ; 当∠PQC=90°时, ∵cos∠QCP= = , ∴ =, 解得 t= . ∴当 t= 或 t= 时,△PCQ 为直角三角形;

(3)∵A(1,4),C(3,0), 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则


解得



故直线 AC 的解析式为 y=﹣2x+6.

∵P(1,4﹣t),将 y=4﹣t 代入 y=﹣2x+6 中,得 x=1+ ,

∴Q 点的横坐标为 1+ ,

将 x=1+ 代入 y=﹣(x﹣1)2+4 中,得 y=4﹣ .

∴Q 点的纵坐标为 4﹣ ,

∴QF=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ , ∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ = FQ?AG+ FQ?DG

= FQ(AG+DG)

= FQ?AD

= ×2(t﹣ )

=﹣ +t

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=﹣ (t2+4﹣4t﹣4) =﹣ (t﹣2)2+1, ∴当 t=2 时,△ACQ 的面积最大,最大值是 1.
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