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2019-学年数学人教A版选修4-4优化课件:第二讲 章末优化总结教育精品.ppt_图文


章末优化总结

网络 体系构建 专题 归纳整合

专题一 曲线的参数方程与普通方程的互化 1.将直线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步骤为: (1)将参数t用变量x表示; (2)将t代入y的表达式; (3)整理得到x,y的关系,即为所求的普通方程.

2.参数方程与普通方程的区别与联系.

曲线的普通方程F(x,y)=0是相对参数方程而言,它反映了坐标变量x与y之间的直接

联系;而参数方程

??x=f?t?, ???y=g?t?

(t为参数)是通过参数t反映坐标变量x与y之间的间接联

系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多1;曲线的参数方程

中,有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多1,从这个意义上讲,曲线

的普通方程和参数方程是“一致”的.

3.参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式.

参数方程 表达形式.

普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同

在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为?????xy==scions

φ, φ

(φ为参数),

曲线C2的参数方程为

??x=acos φ, ???y=bsin φ

(a>b>0,φ为参数).在以O为极点,x轴的正半

轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个 交点间的距离为2,当α=π2时,这两个交点重合. (1)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值; (2)设当α=π4时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,

当α=-π4时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.

[解析]

(1)因为曲线C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1,

x2 a2



y2 b2

=1,所以C1是圆,

C2是椭圆.

当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离

为2,所以a=3.

当α=

π 2

时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,

所以b=1.

(2)C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和x92+y2=1.

当α=π4时,射线l与C1交点A1的横坐标为x= 22,与C2交点B1的横坐标为x′=31010.

当α=-

π 4

时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,

因此四边形A1A2B2B1为梯形,故四边形A1A2B2B1的面积为 ?2x′+2x2??x′-x?=25.

1.已知曲线C1:?????xy==scions

θ, θ

??x= (θ为参数),曲线C2:?
??y=

22t- 2 2t

2,

(t为参数).

(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数; (2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′.写出 C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C1和C2公共点的个数是否相同? 说明你的理由.

解析:(1)C1是圆,C2是直线. C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1. C2的普通方程为x-y+ 2=0. 因为C1圆心到直线x-y+ 2=0的距离为1, 所以C2与C1只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为

??x=cos θ, C1′:???y=12sin θ

??x= (θ为参数),C2′:?
??y=

22t- 2 4t

2,

(t为参数).

化为普通方程为C1′:x2+4y2=1,C2′:y=12x+ 22, 联立消元,得2x2+2 2x+1=0, 其判别式Δ=(2 2)2-4×2×1=0, 所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点,和C1与C2公共点个数相同.

2.已知参数方程?????xy==??????tt-+11tt ??????csions

θ, θ,

① ②

(t≠0).

(1)若t为常数,θ为参数,方程所表示的曲线是什么?

(2)若θ为常数,t为参数,方程所表示的曲线是什么?

解析:(1)当t≠±1时,由①得sin θ=t+x 1t ,

由②得cos θ=t-y 1t .

∴???t+x21t ???2+???t-y21t ???2=1. 它表示中心在原点,长轴长为2???t+1t ???,短轴长为2???t-1t ???,焦点在x轴上的椭圆. 当t=±1时,y=0,x=±2sin θ,x∈[-2,2], 它表示在x轴上[-2,2]的一段线段. (2)当θ≠k2π(k∈Z)时,由①得sinx θ=t+1t . 由②得coys θ=t-1t . 平方相减得sixn22θ-coys22θ=4,即4sxin22θ-4coy2s2θ=1,

它表示中心在原点,实轴长为4|sin θ|,虚轴长为4|cos θ|,焦点在x轴上的双曲 线. 当θ=kπ(k∈Z)时,x=0,它表示y轴; 当θ=kπ+π2(k∈Z)时,y=0,x=±???t+1t ???. ∵t+1t ≥2(t>0)或t+1t ≤-2(t<0)时, |x|≥2.∴方程为y=0(|x|≥2),它表示x轴上以(-2,0)和(2,0)为端点的向左、向右 的两条射线.

专题二 求曲线的参数方程 求曲线的参数方程的方法 (1)根据题目所给的参数,进行恰当变形,得所求普通方程的参数方程. (2)根据题意,选取恰当的参数,求动点的轨迹方程,建立x,y与所选参数的等 量关系常用中点坐标公式、三角函数的定义、三角恒等变换等.

(1)求曲线4x2+y2=16的参数方程.

①设y=4sin θ,θ为参数;

②以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数.

(2)已知曲线C的参数方程为

??x=4cos ???y=4sin

θ, θ

(θ为参数,且θ∈[0,2π)),点M是曲线

上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为N,求MN的中点P的轨迹的参数方

程,并说明轨迹的形状.

[解析] (1)①把y=4sin θ代入方程,得到4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-

16sin2θ=16cos2θ,

所以x=±2cos θ.由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ,

因此4x2+y2=16的参数方程是?????yx==42scions

θ, θ

(θ为参数).

②设M(x,y)是方程4x2+y2=16上异于A的任一点,则

y-4 x

=k(x≠0),将y=

kx+4代入方程,

得x[(4+k2)x+8k]=0.

所以???????xy==--444k++82k+kk221,6

(k≠0),

另有一点?????xy==40., 所以所求的参数方程为

???x=-4+8kk2, ????y=-44k+2+k216

(k≠0)和?????xy==40.,

(2)设点P(x,y),则M(x,2y),

由题意,得?????2xy==44csoisnθθ,, 即

??x=4cos θ, ???y=2sin θ

(θ为参数,且θ∈[0,2π)),

化为普通方程,得1x62 +y42=1,

所以动点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆.

3.过点P(-2,0)作直线l与圆x2+y2=1交于A,B两点,设A,B的中点为M,求M 的轨迹的参数方程. 解析:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=ty-2. 由?????xx= 2+tyy-2=21, 消去x得(1+t2)y2-4ty+3=0. ∴y1+y2=1+4t t2,得y=1+2t t2. x=ty-2=12+t2t2-2=1-+2t2,

由Δ=(4t)2-12(1+t2)>0,得t2>3.

∴M的轨迹的参数方程为????x=1-+2t2, ???y=1+2tt2

(t为参数,且t2>3).

4.求点M0(0,2)到双曲线x2-y2=1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离 的最小值). 解析:把双曲线方程化为参数方程

??x=sec θ, ???y=tan θ

(θ为参数).

设双曲线上的动点为M(sec θ,tan θ),则

|M0M|2=sec2θ+(tan θ-2)2 =tan2θ+1+tan2θ-4tan θ+4

=2tan2θ-4tan θ+5

=2(tan θ-1)2+3,

当tan θ-1=0,即tan θ=1时, |M0M|2取最小值3,此时有|M0M|= 3, 即点M0到双曲线的最小距离为 3.

专题三 直线参数方程的应用

1.直线参数方程的标准形式

直线参数方程的一般形式为

??x=x0+at, ???y=y0+bt

(t为参数),只有当b≥0,a2+b2=1时,

上述方程组才为直线的参数方程的标准形式,直线经过的起点坐标为M0(x0,y0),

直线上另外两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,这时就有|M0M1|=

|t1|,|M0M2|=|t2|,|M1M2|=|t1-t2|.

2.直线参数方程的应用 直线的参数方程应用十分广泛,特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时,可以 利用参数的几何意义和弦长公式求解,这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方 程所组成的方程组求解导致的烦琐运算,从而简化解题过程,优化解题思路. 3.应用直线的参数方程求弦长的注意事项 (1)直线的参数方程应为标准形式. (2)要注意直线倾斜角的取值范围. (3)设直线上两点对应的参数分别为t1,t2. (4)套公式|t1-t2|求弦长.

已知椭圆C:

x2 4

+y2=1,过点P

???-45,15???

的直线l与椭圆交于A,B两

点,且A→P=P→B,求:

(1)直线l的方程;

→ (2)|AB|.

[解析] (1)设直线l的参数方程为

??x=-45+tcos α, ???y=15+tsin α

(t为参数).

代入椭圆方程x42+y2=1,整理,得 (4sin2α+cos2α)t2+85(sin α-cos α)t-156=0. 设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则由一元二次方程根与系数的关系,得 t1+t2=-85·4ssiinn2αα-+ccoossα2α,t1t2=4sin2-α+156cos2α. 由A→P=P→B得t1+t2=0, ∴sin α-cos α=0,即tan α=1,

又α∈[0,π),∴α=π4.

∴直线l的参数方程为???x=-45+ 22t, ??y=15+ 22t

(t为参数).

消去参数t,得直线的普通方程为y=x+1.

(2)∵α=π4,∴cos2α+4sin2α=52,t1t2=-3225.

∴|A→B|=|t1-t2|=

?t1+t2?2-4t1t2=8

5

2 .

5.求直线?????xy==--21t+2t, 被曲线?????xy==-1+1+4co4ssiθn,θ 截得的弦长.

解析:直线?????yx==--21t+2t, 的普通方程为x+y+1=0.

曲线?????xy==-1+1+4co4ssiθn,θ 即为圆心为(1,-1),半径为4的圆.

则圆心(1,-1)到直线x+y+1=0的距离

d=|1-121++112|=

2 2

设直线被曲线截得的弦长为l, 则l=2 42-? 22?2= 62, ∴直线被曲线截得的弦长为 62.

6.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标

系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),

??2
??

3

3,π2????

,圆C的参数方程为

??x=2+2cos θ, ???y=- 3+2sin θ

(θ为参数).

(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;

(2)判断直线l与圆C的位置关系.

解析:(1)由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),????0,2 3 3????.

又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为 ????1,

3?? 3 ??

,故直线OP的平面直

角坐标方程为y=

3 3 x.

(2)因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),

????0,2 3

3??
??

,所以直线l的

平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0.

又圆C的圆心坐标为(2,- 3),半径r=2,圆心到直线l的距离d=

|2

3-3 3-2 3+9

3|=32<r,故直线l与圆C相交.



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