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2014年高三一轮专题复习总结数学归纳法(有详细答案)


2014 年高三一轮专题复习总结数学归纳法(有详细答案)
数学归纳法

数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题,可按以下步骤: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N+)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n=1 时结论成立.

( ×)

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.

( ×)

(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.

( ×)

(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+1 时,项数都增加了

一项.

( ×)

(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证 n=1 时,左边式子应为 1

+2+22+23.( √ )

(6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时,n0=3. 2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步检验 n 等于

(√) ()

A.1

B.2 C.3 D.0

答案 C

解析 凸 n 边形的边最少有三条,故第一个值 n0 取 3. 3.若 f(n)=1+12+13+…+6n1-1(n∈N+),则 f(1)为

()

1

A.1

B.5

C.1+12+13+14+15

D.非以上答案

答案 C

解析 等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数,且最大分母为 6n-1,则当 n=1 时,

最大分母为 5,故选 C.

4.设 f(n)=n+1 1+n+1 2+…+n+1 n,n∈N*,那么 f(n+1)-f(n)=________.

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答案 2n1+1-2n1+2 解析 f(n+1)-f(n)=n+1 2+n+1 3+…+n+1 n+n+11+n+n+1+1 n+1-(n+1 1+n+1 2+… +n+1 n)=2n1+1+2n1+2-n+1 1=2n1+1-2n1+2. 5.用数学归纳法证明:“1+12+13+…+2n-1 1<n(n∈N*,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式成立, 推理 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 答案 2k 解析 当 n=k 时,要证的式子为 1+12+13+…+2k-1 1<k; 当 n=k+1 时,要证的式子为 1+12+13+…+2k-1 1+21k+2k+1 1+…+2k+11-1<k+1. 左边增加了 2k 项.

题型一 用数学归纳法证明等式

例 1 求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+).

思维启迪 证明时注意等式两边从 n=k 到 n=k+1 时的变化.

证明 ①当 n=1 时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;

②假设当 n=k(k∈N+)时等式成立, 即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),

那么当 n=k+1 时,

左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)

=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2 =2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1),

这就是说当 n=k+1 时等式也成立.

由①②可知,对所有 n∈N+等式成立.

思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时等式成立. (2)由 n=k 证明 n=k+1 时,弄清左边增加的项,且明确变形目标.

(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.

用数学归纳法证明:对任意的 n∈N*,1×13+3×15+…+

1 2n-1 2n+1



n 2n+1.

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证明 (1)当 n=1 时,左边=1×13=13,

右边=2×11+1=13,左边=右边,所以等式成立.

(2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即有

1×13+3×15+…+

1 2k-1 2k+1

=2k+k 1,

则当 n=k+1 时,

1×13+3×15+…+

1 2k-1 2k+1



1 2k+1 2k+3

=2k+k 1+

1 2k+1 2k+3



k 2k+3 +1 2k+1 2k+3



2k2+3k+1 2k+1 2k+3

=2kk++13=2

k+1 k+1

+1,

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.

题型二 用数学归纳法证明不等式

例 2 已知函数 f(x)=ax-32x2 的最大值不大于16,又当 x∈[14,12]时,f(x)≥18.

(1)求 a 的值;

(2)设 0<a1<12,an+1=f(an),n∈N*,证明:an<n+1 1.

思维启迪 (1)利用题中条件分别确定 a 的范围,进而求 a;

(2)利用数学归纳法证明. (1)解 由题意,知 f(x)=ax-32x2=-32(x-a3)2+a62. 又 f(x)max≤16,所以 f(a3)=a62≤16.

所以 a2≤1.

又 x∈[14,12]时,f(x)≥18,

?f

1 2

≥18,

所以

??f

1 4

≥18,

?2a-83≥18,

??a4-332≥18,

解得 a≥1. 又因为 a2≤1,所以 a=1. (2)证明 用数学归纳法证明:

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①当 n=1 时,0<a1<12,显然结论成立.

因为当 x∈(0,12)时,0<f(x)≤16,

所以 0<a2=f(a1)≤16<13.

故 n=2 时,原不等式也成立.

②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式 0<ak<k+1 1成立.

因为 f(x)=ax-32x2 的对称轴为直线 x=13,

所以当 x∈(0,13]时,f(x)为增函数.

所以由

0<ak<k+1 1≤13,得

1 0<f(ak)<f(k+1).

于是,0<ak+1=f(ak)<k+1 1-32·

1 k+1

2+k+1 2-k+1 2=k+1 2-2

k+4 k+1 2 k+2

1 <k+2.

所以当 n=k+1 时,原不等式也成立.

根据①②,知对任何 n∈N*,不等式 an<n+1 1成立.

思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时命题成立证 n=k+1 时命题也成

立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用

基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.

用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式(1+13)(1+15)·…·(1+

2n1-1)> 2n2+1均成立.

证明

(1)当

n=2

时,左边=1+13=43;右边=

5 2.

∵左边>右边,∴不等式成立.

(2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N*)时不等式成立,即

(1+13)(1+15)·…·(1+2k-1 1)>

2k+1 2.

则当 n=k+1 时,

(1+13)(1+15)·…·(1+2k-1 1)[1+2

1 k+1

-1]>

2k2+1·22kk+ +21=2

2k+2 2k+1



4k2+8k+4 2 2k+1 >

4k2+8k+3 2 2k+1

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= 2k+3 2k+1= 2 2 2k+1

k+1 2

+1 .

∴当 n=k+1 时,不等式也成立.

由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.

题型三 归纳—猜想—证明

例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a2n+a1n-1,且 an>0,n∈N*. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

思维启迪 通过计算 a1,a2,a3 寻求规律猜想{an}的通项公式,然后用数学归纳法证明. (1)解 当 n=1 时,

由已知得 a1=a21+a11-1,a21+2a1-2=0. ∴a1= 3-1(a1>0). 当 n=2 时,由已知得 a1+a2=a22+a12-1, 将 a1= 3-1 代入并整理得 a22+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3(a2>0). 同理可得 a3= 7- 5. 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*). (2)证明 ①由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立,

即 ak= 2k+1- 2k-1.

由 ak+1=Sk+1-Sk=ak2+1+ak1+1-a2k-a1k,

将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式并整理得 a2k+1+2 2k+1ak+1-2=0,

解得:ak+1= 2k+3- 2k+1(an>0). 即当 n=k+1 时,通项公式也成立.

由①和②,可知对所有 n∈N*,an= 2n+1- 2n-1都成立. 思维升华 (1)猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般的过程,注意两点:①准确计算 a1, a2,a3 发现规律(必要时可多计算几项);②证明 ak+1 时,ak+1 的求解过程与 a2、a3 的求解过 程相似,注意体会特殊性与一般性的辩证关系.

(2)“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,这种

方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它的模式是先由合情推理发现结论,

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然后经逻辑推理证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式. 已知函数 f(x)=13x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an+1),试比较1+1 a1
+1+1a2+1+1 a3+…+1+1an与 1 的大小,并说明理由. 解 ∵f′(x)=x2-1,且 an+1≥f′(an+1), ∴an+1≥(an+1)2-1, ∵函数 g(x)=(x+1)2-1 在[1,+∞)上单调递增. 于是由 a1≥1 得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1, 进而 a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1. 下面用数学归纳法证明这个猜想: ①当 n=1 时,a1≥21-1=1,结论成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时结论成立,即 ak≥2k-1. 当 n=k+1 时,由 g(x)=(x+1)2-1 在区间[1,+∞)上单调递增知 ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k +1-1, 即 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,对任意 n∈N*,都有 an≥2n-1, 即 1+an≥2n,∴1+1an≤21n, ∴1+1a1+1+1 a2+1+1a3+…+1+1an ≤12+212+213+…+21n=1-(12)n<1.
归纳—猜想—证明问题
典例:(12 分)设 a>0,f(x)=aa+xx,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 思维启迪 通过计算 a2,a3,a4 观察规律猜想 an,然后用数学归纳法证明. 规范解答 (1)解 ∵a1=1, ∴a2=f(a1)=f(1)=1+a a;
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a3=f(a2)=2+a a;a4=f(a3)=3+a a.

猜想 an=

a n-1

+a(n∈N*).

分]

(2)证明 ①易知,n=1 时,猜想正确.

②假设 n=k 时猜想正确,

即 ak=

a k-1

+a,

分]

a

a· 则 ak+1=f(ak)=aa+·aakk=a+

k-1
a k-1

+a +a



k-1 a +a+1=[

a k+1 -1]+a.

这说明,n=k+1 时猜想正确.

由①②知,对于任何 n∈N*,都有 an=

a n-1

+a.

分]

[2 分] [4
[6 分] [8
[11 分] [12

归纳—猜想—证明问题的一般步骤: 第一步:计算数列前几项或特殊情况,观察规律猜测数列的通项或一般结论; 第二步:验证一般结论对第一个值 n0(n0∈N*)成立. 第三步:假设 n=k(k≥n0)时结论成立,证明当 n=k+1 时结论也成立. 第四步:下结论,由上可知结论对任意 n≥n0,n∈N*成立.
温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时,还有以下几点容 易造成失分,在备考时要高度关注: (1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难. (2)证明 n=k 到 n=k+1 这一步时,忽略了假设条件去证明,造成使用的不是纯正的数学 归纳法. (3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧,只有这样,才能快速正确地解决问题.

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方法与技巧 1.数学归纳法的两个步骤相互依存,缺一不可
有一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠;有二无一,第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要注意以下两点: (1)归纳假设就是已知条件;(2)在推证 n=k+1 时,必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧 在推证 n=k+1 时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要 掌握 n=k 与 n=k+1 之间的关系.在推证时,分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 失误与防范 1.数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1; 2.推证 n=k+1 时一定要用上 n=k 时的假设,否则不是数学归纳法.

A 组 专项基础训练

(时间:40 分钟)

一、选择题

1.用数学归纳法证明 2n>2n+1,n 的第一个取值应是

()

A.1

B.2 C.3 D.4

答案 C

解析 ∵n=1 时,21=1,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立;

n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立;

n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立.

∴n 的第一个取值应是 3.

2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=1-1-ana+2(a≠1)”,在验证 n=1 时,左端计算所得的

项为

()

A.1

B.1+a

C.1+a+a2

D.1+a+a2+a3

答案 C

3.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·2·…·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k 到 n=k

+1”时,左边应增添的式子是

()

A.2k+1

B.2k+3

C.2(2k+1)

D.2(2k+3)

答案 C

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解析 左边应增添的式子等于

k+2 k+3 ·…·[ k+1 + k+1 ] k+1 k+2 ·…· k+k

= k+2

k+3 ·…· 2k 2k+1 k+1 k+2 ·…· 2k

2k+2

=2(2k+1).

4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:

(1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立.

(2) 假 设 当 n = k(k∈N*) 时 , 不 等 式 成 立 , 即 k2+k <k + 1 , 则 当 n = k + 1 时 ,

k+1 2+ k+1 = k2+3k+2< k2+3k+2 + k+2 = k+2 2=(k+1)

+1.

∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法

()

A.过程全部正确

B.n=1 验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确

答案 D

解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法.

5.在数列{an}中,a1=13,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为(

)

1 A. n-1 n+1

1 B.2n 2n+1

1 C. 2n-1 2n+1

1 D. 2n+1 2n+2

答案 C

解析 当 n=2 时,13+a2=(2×3)a2,∴a2=3×15.

当 n=3 时,13+115+a3=(3×5)a3,∴a3=5×17.

故猜想 an=

1 2n-1 2n+1

.

二、填空题

6.设 Sn=1+12+13+14+…+21n,则 Sn+1-Sn=________.

答案 2n+1 1+2n+1 2+2n+1 3+…+2n+1 2n

解析 ∵Sn+1=1+12+…+21n+2n+1 1+…+2n+1 2n,

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Sn=1+12+13+14+…+21n,

∴Sn+1-Sn=2n+1 1+2n+1 2+2n+1 3+…+2n+1 2n.

7.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,当第二步假设 n=2k-1(k∈N+)命题

为真时,进而需证 n=________时,命题亦真.

答案 2k+1

解析 因为 n 为正奇数,所以与 2k-1 相邻的下一个奇数是 2k+1.

8.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.

若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)=________;当 n>4 时,f(n)=________(用 n

表示).

答案 5 12(n+1)(n-2)

解析 f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,

f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)

=12(n+1)(n-2).

三、解答题

9.用数学归纳法证明下面的等式

12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1n

n+1 2

.

证明 (1)当 n=1 时,左边=12=1,

右边=(-1)0·1×

1+1 2

=1,∴原等式成立.

(2)假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立, 即有 12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2

=(-1)k-1k

k+1 2

.

那么,当 n=k+1 时,则有 12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2

=(-1)k-1k

k+1 2

+(-1)k·(k+1)2

=(-1)k·k+2 1[-k+2(k+1)]

=(-1)k

k+1 k+2 2

.

∴n=k+1 时,等式也成立,

由(1)(2)知对任意 n∈N*有

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12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1n

n+1 2

.

10.已知数列{an},an≥0,a1=0,an2+1+an+1-1=an2. 求证:当 n∈N*时,an<an+1. 证明 (1)当 n=1 时,因为 a2 是方程 a22+a2-1=0 的正根,所以 a1<a2. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,0≤ak<ak+1, 则由 a2k+1-a2k =(a2k+2+ak+2-1)-(a2k+1+ak+1-1) =(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 得 ak+1<ak+2, 即当 n=k+1 时,an<an+1 也成立, 根据(1)和(2),可知 an<an+1 对任何 n∈N*都成立. B 组 专项能力提升

(时间:30 分钟) 1.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2=n4+2 n2,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上

A.k2+1

()

B.(k+1)2

k+1 4+ k+1 2

C.

2

D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2

答案 D

解析 等式左边是从 1 开始的连续自然数的和,直到 n2.

故 n=k+1 时,最后一项是(k+1)2,而 n=k 时,最后一项是 k2,应加上(k2+1)+(k2+2)

+(k2+3)+…+(k+1)2.

2.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是

A.6+6·7k

B.2+7k-1

C.2(2+7k+1)

D.3(2+7k)

()

答案 D

解析 (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除.

(2)假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,

即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么当 k=n+1 时有 3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.

这就是说,k=n+1 时命题也成立.

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由(1)(2)知,命题对 k∈N*成立.

3.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=12an+1(n∈N*),通过计算 a1,a2,a3,a4,可猜想 an=________.

答案

2n-1 2n-1

解析 ∵a1=1,∴a2=12a1+1=32,

a3=12a2+1=74,a4=12a3+1=185. 猜想 an=22nn--11.

4.已知 f(n)=1+213+313+413+…+n13,g(n)=32-21n2,n∈N*.

(1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小;

(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明.

解 (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1);

当 n=2 时,f(2)=98,g(2)=181,所以 f(2)<g(2);

当 n=3 时,f(3)=225116,g(3)=321126,所以 f(3)<g(3).

(2)由(1),猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明.

①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立,

②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立,即

1+213+313+413+…+k13<32-21k2.

那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+

1 k+1

3<32-21k2+

1 k+1

3.

因为 2

1 k+1

2-[21k2-

1 k+1

3]

= 2

k+3 k+1

3-21k2=2 -k+3k1-13k2<0,

所以 f(k+1)<32-2

1 k+1

2=g(k+1).

由①②可知,对一切 n∈N*,都有 f(n)≤g(n)成立.

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2014 年高三一轮专题复习总结数学归纳法(有详细答案)

5.若不等式n+1 1+n+1 2+…+3n1+1>2a4对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并证

明结论.

解 当 n=1 时,1+1 1+1+1 2+3+1 1>2a4,

即2246>2a4,所以 a<26.

而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明

n+1 1+n+1 2+…+3n1+1>2254.

(1)当 n=1 时,已证得不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,

即k+1 1+k+1 2+…+3k+1 1>2245.

则当 n=k+1 时,



1 k+1

+1+

1 k+1

+2+…+3

1 k+1

+1



1 k+1



1 k+2







1 3k+1



1 3k+2



1 3k+3



1 3k+4



1 k+1

>

25 24



[

1 3k+2



1 3k+4



2 3 k+1 ].

因为3k+1 2+3k+1 4-3

2 k+1



6 k+1 3k+2 3k+4

- 3

2 k+1

=18

k+1 3k+2

2-2 9k2+18k+8 3k+4 3k+3



3k+2

2 3k+4

3k+3 >0,

所以当 n=k+1 时不等式也成立.

由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有n+1 1+n+1 2+…+3n1+1>2245,

所以 a 的最大值等于 25.

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