2014年高三一轮专题复习总结数学归纳法(有详细答案)

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数学归纳法

数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按以下步骤： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立.

( ×)

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.

( ×)

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.

( ×)

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了

一项.

( ×)

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证 n＝1 时，左边式子应为 1

＋2＋22＋23.( √ )

(6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时，n0＝3. 2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验 n 等于

(√) ()

A.1

B.2 C.3 D.0

答案 C

解析 凸 n 边形的边最少有三条，故第一个值 n0 取 3. 3.若 f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1(n∈N＋)，则 f(1)为

()

1

A.1

B.5

C.1＋12＋13＋14＋15

D.非以上答案

答案 C

解析 等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n－1，则当 n＝1 时，

最大分母为 5，故选 C.

4.设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n＋1 n，n∈N*，那么 f(n＋1)－f(n)＝________.

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答案 2n1＋1－2n1＋2 解析 f(n＋1)－f(n)＝n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n＋n＋11＋n＋n＋1＋1 n＋1－(n＋1 1＋n＋1 2＋… ＋n＋1 n)＝2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2. 5.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)”时，由 n＝k(k>1)不等式成立， 推理 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是________. 答案 2k 解析 当 n＝k 时，要证的式子为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k； 当 n＝k＋1 时，要证的式子为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1<k＋1. 左边增加了 2k 项.

题型一 用数学归纳法证明等式

例 1 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋).

思维启迪 证明时注意等式两边从 n＝k 到 n＝k＋1 时的变化.

证明 ①当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；

②假设当 n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，

那么当 n＝k＋1 时，

左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)

＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，

这就是说当 n＝k＋1 时等式也成立.

由①②可知，对所有 n∈N＋等式成立.

思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时等式成立. (2)由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.

用数学归纳法证明：对任意的 n∈N*，1×13＋3×15＋…＋

1 2n－1 2n＋1

＝

n 2n＋1.

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证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1×13＝13，

右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立.

(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有

1×13＋3×15＋…＋

1 2k－1 2k＋1

＝2k＋k 1，

则当 n＝k＋1 时，

1×13＋3×15＋…＋

1 2k－1 2k＋1

＋

1 2k＋1 2k＋3

＝2k＋k 1＋

1 2k＋1 2k＋3

＝

k 2k＋3 ＋1 2k＋1 2k＋3

＝

2k2＋3k＋1 2k＋1 2k＋3

＝2kk＋＋13＝2

k＋1 k＋1

＋1，

所以当 n＝k＋1 时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立.

题型二 用数学归纳法证明不等式

例 2 已知函数 f(x)＝ax－32x2 的最大值不大于16，又当 x∈[14，12]时，f(x)≥18.

(1)求 a 的值；

(2)设 0<a1<12，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<n＋1 1.

思维启迪 (1)利用题中条件分别确定 a 的范围，进而求 a；

(2)利用数学归纳法证明. (1)解 由题意，知 f(x)＝ax－32x2＝－32(x－a3)2＋a62. 又 f(x)max≤16，所以 f(a3)＝a62≤16.

所以 a2≤1.

又 x∈[14，12]时，f(x)≥18，

?f

1 2

≥18，

所以

??f

1 4

≥18，

?2a－83≥18，
即
??a4－332≥18，

解得 a≥1. 又因为 a2≤1，所以 a＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：

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①当 n＝1 时，0<a1<12，显然结论成立.

因为当 x∈(0，12)时，0<f(x)≤16，

所以 0<a2＝f(a1)≤16<13.

故 n＝2 时，原不等式也成立.

②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式 0<ak<k＋1 1成立.

因为 f(x)＝ax－32x2 的对称轴为直线 x＝13，

所以当 x∈(0，13]时，f(x)为增函数.

所以由

0<ak<k＋1 1≤13，得

1 0<f(ak)<f(k＋1).

于是，0<ak＋1＝f(ak)<k＋1 1－32·

1 k＋1

2＋k＋1 2－k＋1 2＝k＋1 2－2

k＋4 k＋1 2 k＋2

1 <k＋2.

所以当 n＝k＋1 时，原不等式也成立.

根据①②，知对任何 n∈N*，不等式 an<n＋1 1成立.

思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时命题成立证 n＝k＋1 时命题也成

立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用

基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.

用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋

2n1－1)> 2n2＋1均成立.

证明

(1)当

n＝2

时，左边＝1＋13＝43；右边＝

5 2.

∵左边>右边，∴不等式成立.

(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立，即

(1＋13)(1＋15)·…·(1＋2k－1 1)>

2k＋1 2.

则当 n＝k＋1 时，

(1＋13)(1＋15)·…·(1＋2k－1 1)[1＋2

1 k＋1

－1]>

2k2＋1·22kk＋ ＋21＝2

2k＋2 2k＋1

＝

4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >

4k2＋8k＋3 2 2k＋1

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＝ 2k＋3 2k＋1＝ 2 2 2k＋1

k＋1 2

＋1 .

∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立.

由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立.

题型三 归纳—猜想—证明

例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝a2n＋a1n－1，且 an>0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性.

思维启迪 通过计算 a1，a2，a3 寻求规律猜想{an}的通项公式，然后用数学归纳法证明. (1)解 当 n＝1 时，

由已知得 a1＝a21＋a11－1，a21＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1(a1>0). 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0). 同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*). (2)证明 ①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立. ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，

即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1.

由 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k，

将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式并整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0，

解得：ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1(an>0). 即当 n＝k＋1 时，通项公式也成立.

由①和②，可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立. 思维升华 (1)猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算 a1， a2，a3 发现规律(必要时可多计算几项)；②证明 ak＋1 时，ak＋1 的求解过程与 a2、a3 的求解过 程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系.

(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种

方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，

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然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式. 已知函数 f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较1＋1 a1
＋1＋1a2＋1＋1 a3＋…＋1＋1an与 1 的大小，并说明理由. 解 ∵f′(x)＝x2－1，且 an＋1≥f′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1， ∵函数 g(x)＝(x＋1)2－1 在[1，＋∞)上单调递增. 于是由 a1≥1 得 a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 进而 a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当 n＝1 时，a1≥21－1＝1，结论成立； ②假设 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时结论成立，即 ak≥2k－1. 当 n＝k＋1 时，由 g(x)＝(x＋1)2－1 在区间[1，＋∞)上单调递增知 ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1， 即 n＝k＋1 时，结论也成立. 由①②知，对任意 n∈N*，都有 an≥2n－1， 即 1＋an≥2n，∴1＋1an≤21n， ∴1＋1a1＋1＋1 a2＋1＋1a3＋…＋1＋1an ≤12＋212＋213＋…＋21n＝1－(12)n<1.
归纳—猜想—证明问题
典例：(12 分)设 a>0，f(x)＝aa＋xx，令 a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论. 思维启迪 通过计算 a2，a3，a4 观察规律猜想 an，然后用数学归纳法证明. 规范解答 (1)解 ∵a1＝1， ∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；
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a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a.

猜想 an＝

a n－1

＋a(n∈N*).

分]

(2)证明 ①易知，n＝1 时，猜想正确.

②假设 n＝k 时猜想正确，

即 ak＝

a k－1

＋a，

分]

a

a· 则 ak＋1＝f(ak)＝aa＋·aakk＝a＋

k－1
a k－1

＋a ＋a

＝

k－1 a ＋a＋1＝[

a k＋1 －1]＋a.

这说明，n＝k＋1 时猜想正确.

由①②知，对于任何 n∈N*，都有 an＝

a n－1

＋a.

分]

[2 分] [4
[6 分] [8
[11 分] [12

归纳—猜想—证明问题的一般步骤： 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值 n0(n0∈N*)成立. 第三步：假设 n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当 n＝k＋1 时结论也成立. 第四步：下结论，由上可知结论对任意 n≥n0，n∈N*成立.
温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容 易造成失分，在备考时要高度关注： (1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难. (2)证明 n＝k 到 n＝k＋1 这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学 归纳法. (3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.

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方法与技巧 1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可
有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证 n＝k＋1 时，必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧 在推证 n＝k＋1 时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要 掌握 n＝k 与 n＝k＋1 之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 失误与防范 1.数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1； 2.推证 n＝k＋1 时一定要用上 n＝k 时的假设，否则不是数学归纳法.

A 组 专项基础训练

(时间：40 分钟)

一、选择题

1.用数学归纳法证明 2n>2n＋1，n 的第一个取值应是

()

A.1

B.2 C.3 D.4

答案 C

解析 ∵n＝1 时，21＝1,2×1＋1＝3,2n>2n＋1 不成立；

n＝2 时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1 不成立；

n＝3 时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1 成立.

∴n 的第一个取值应是 3.

2.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1)”，在验证 n＝1 时，左端计算所得的

项为

()

A.1

B.1＋a

C.1＋a＋a2

D.1＋a＋a2＋a3

答案 C

3.用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k 到 n＝k

＋1”时，左边应增添的式子是

()

A.2k＋1

B.2k＋3

C.2(2k＋1)

D.2(2k＋3)

答案 C

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解析 左边应增添的式子等于

k＋2 k＋3 ·…·[ k＋1 ＋ k＋1 ] k＋1 k＋2 ·…· k＋k

＝ k＋2

k＋3 ·…· 2k 2k＋1 k＋1 k＋2 ·…· 2k

2k＋2

＝2(2k＋1).

4.对于不等式 n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当 n＝1 时， 12＋1<1＋1，不等式成立.

(2) 假 设 当 n ＝ k(k∈N*) 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 k2＋k <k ＋ 1 ， 则 当 n ＝ k ＋ 1 时 ，

k＋1 2＋ k＋1 ＝ k2＋3k＋2< k2＋3k＋2 ＋ k＋2 ＝ k＋2 2＝(k＋1)

＋1.

∴当 n＝k＋1 时，不等式成立，则上述证法

()

A.过程全部正确

B.n＝1 验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确

答案 D

解析 在 n＝k＋1 时，没有应用 n＝k 时的假设，不是数学归纳法.

5.在数列{an}中，a1＝13，且 Sn＝n(2n－1)an，通过求 a2，a3，a4，猜想 an 的表达式为(

)

1 A. n－1 n＋1

1 B.2n 2n＋1

1 C. 2n－1 2n＋1

1 D. 2n＋1 2n＋2

答案 C

解析 当 n＝2 时，13＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝3×15.

当 n＝3 时，13＋115＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝5×17.

故猜想 an＝

1 2n－1 2n＋1

.

二、填空题

6.设 Sn＝1＋12＋13＋14＋…＋21n，则 Sn＋1－Sn＝________.

答案 2n＋1 1＋2n＋1 2＋2n＋1 3＋…＋2n＋1 2n

解析 ∵Sn＋1＝1＋12＋…＋21n＋2n＋1 1＋…＋2n＋1 2n，

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Sn＝1＋12＋13＋14＋…＋21n，

∴Sn＋1－Sn＝2n＋1 1＋2n＋1 2＋2n＋1 3＋…＋2n＋1 2n.

7.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”，当第二步假设 n＝2k－1(k∈N＋)命题

为真时，进而需证 n＝________时，命题亦真.

答案 2k＋1

解析 因为 n 为正奇数，所以与 2k－1 相邻的下一个奇数是 2k＋1.

8.设平面内有 n 条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.

若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)＝________；当 n>4 时，f(n)＝________(用 n

表示).

答案 5 12(n＋1)(n－2)

解析 f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，

f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)

＝12(n＋1)(n－2).

三、解答题

9.用数学归纳法证明下面的等式

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1n

n＋1 2

.

证明 (1)当 n＝1 时，左边＝12＝1，

右边＝(－1)0·1×

1＋1 2

＝1，∴原等式成立.

(2)假设 n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立， 即有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2

＝(－1)k－1k

k＋1 2

.

那么，当 n＝k＋1 时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k－1k

k＋1 2

＋(－1)k·(k＋1)2

＝(－1)k·k＋2 1[－k＋2(k＋1)]

＝(－1)k

k＋1 k＋2 2

.

∴n＝k＋1 时，等式也成立，

由(1)(2)知对任意 n∈N*有

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12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1n

n＋1 2

.

10.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an2＋1＋an＋1－1＝an2. 求证：当 n∈N*时，an<an＋1. 证明 (1)当 n＝1 时，因为 a2 是方程 a22＋a2－1＝0 的正根，所以 a1<a2. (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 则由 a2k＋1－a2k ＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 得 ak＋1<ak＋2， 即当 n＝k＋1 时，an<an＋1 也成立， 根据(1)和(2)，可知 an<an＋1 对任何 n∈N*都成立. B 组 专项能力提升

(时间：30 分钟) 1.用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋2 n2，则当 n＝k＋1 时左端应在 n＝k 的基础上加上

A.k2＋1

()

B.(k＋1)2

k＋1 4＋ k＋1 2

C.

2

D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

答案 D

解析 等式左边是从 1 开始的连续自然数的和，直到 n2.

故 n＝k＋1 时，最后一项是(k＋1)2，而 n＝k 时，最后一项是 k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)

＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.

2.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是

A.6＋6·7k

B.2＋7k－1

C.2(2＋7k＋1)

D.3(2＋7k)

()

答案 D

解析 (1)当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除.

(2)假设当 k＝n(n∈N*)时，命题成立，

即 3(2＋7n)能被 9 整除， 那么当 k＝n＋1 时有 3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.

这就是说，k＝n＋1 时命题也成立.

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由(1)(2)知，命题对 k∈N*成立.

3.已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，通过计算 a1，a2，a3，a4，可猜想 an＝________.

答案

2n－1 2n－1

解析 ∵a1＝1，∴a2＝12a1＋1＝32，

a3＝12a2＋1＝74，a4＝12a3＋1＝185. 猜想 an＝22nn－－11.

4.已知 f(n)＝1＋213＋313＋413＋…＋n13，g(n)＝32－21n2，n∈N*.

(1)当 n＝1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小；

(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明.

解 (1)当 n＝1 时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以 f(1)＝g(1)；

当 n＝2 时，f(2)＝98，g(2)＝181，所以 f(2)<g(2)；

当 n＝3 时，f(3)＝225116，g(3)＝321126，所以 f(3)<g(3).

(2)由(1)，猜想 f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明.

①当 n＝1,2,3 时，不等式显然成立，

②假设当 n＝k(k≥3)时不等式成立，即

1＋213＋313＋413＋…＋k13<32－21k2.

那么，当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝f(k)＋

1 k＋1

3<32－21k2＋

1 k＋1

3.

因为 2

1 k＋1

2－[21k2－

1 k＋1

3]

＝ 2

k＋3 k＋1

3－21k2＝2 －k＋3k1－13k2<0，

所以 f(k＋1)<32－2

1 k＋1

2＝g(k＋1).

由①②可知，对一切 n∈N*，都有 f(n)≤g(n)成立.

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2014 年高三一轮专题复习总结数学归纳法(有详细答案)

5.若不等式n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2a4对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证

明结论.

解 当 n＝1 时，1＋1 1＋1＋1 2＋3＋1 1>2a4，

即2246>2a4，所以 a<26.

而 a 是正整数，所以取 a＝25，下面用数学归纳法证明

n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2254.

(1)当 n＝1 时，已证得不等式成立. (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，

即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1>2245.

则当 n＝k＋1 时，

有

1 k＋1

＋1＋

1 k＋1

＋2＋…＋3

1 k＋1

＋1

＝

1 k＋1

＋

1 k＋2

＋

…

＋

1 3k＋1

＋

1 3k＋2

＋

1 3k＋3

＋

1 3k＋4

－

1 k＋1

>

25 24

＋

[

1 3k＋2

＋

1 3k＋4

－

2 3 k＋1 ].

因为3k＋1 2＋3k＋1 4－3

2 k＋1

＝

6 k＋1 3k＋2 3k＋4

－ 3

2 k＋1

＝18

k＋1 3k＋2

2－2 9k2＋18k＋8 3k＋4 3k＋3

＝

3k＋2

2 3k＋4

3k＋3 >0，

所以当 n＝k＋1 时不等式也成立.

由(1)(2)知，对一切正整数 n，都有n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2245，

所以 a 的最大值等于 25.

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