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带电粒子在磁场中运动情况的分析


带电粒子在磁场中运动情况的分析
带电粒子在磁场中的运动问题是高三物理复习教学的重点、难点,也是历年 高考的热点问题。要想在有限的考试时间内快速准确求解这类问题,需要有扎实 的基础知识和较强的综合分析能力。如果能掌握带电粒子在磁场中运动情况的基 本类型及相关问题的解法,就可成竹在胸、从容应试。基于考纲要求,本文只讨 论带电粒子(不计重力)在匀强磁场中垂直磁场方向的几种运动情况。
一、带电粒子在无界磁场中的运动(以下所画都是垂直磁场方向的截面图) 如图1,空间存在无边界的匀强磁场,磁感应强度为 B,带电荷量为 q、质 量为 m 的带电粒子以垂直于 B 的速度 v 运动,它所受洛仑兹力提供向心力,作 完整的匀速圆周运动。轨道半径为 r、运动周期为 T,则

若粒子从 C 点运动到 D 点所用时间为 t,则
得 二、带电粒子在有界磁场中的运动 (一)有单平面边界的磁场

如图2,直线 MN 右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。带电粒子由边界上 P 点以图示方向进入磁场,在磁场内做部分圆周运动,将以关于边界对称的方向从 Q 点射出。则有
几何关系:PQ= 当 <900时,θ>1800,轨迹为一段优弧,圆心在磁场中。 当 =900时,θ=1800,轨迹为半圆周,圆心在线段 PQ 的中点。 当 >900时, < 1800,轨迹为一段劣弧,圆心在磁场外。 总结:这类问题中要特别注意出入磁场的速度方向关于边界对称的特点。更 重要的是要能用“动态”的观点分析问题,即当粒子速度大小一定从 P 点进入方向 变化时,粒子在磁场中的运动轨迹、运动时间、出磁场的位置都随之变化,但轨 迹半径不变,所有可能轨迹的圆心应分布在以 P 点为圆心、 为半径的半圆上。 若带电粒子从 P 点射入时速度大小变化而方向一定时,粒子在磁场中的运动轨

迹、轨迹半径、出磁场的位置都随之变化,但运动时间和偏转方向不变,所有可 能轨迹的圆心应分布在 PO 及其延长线上。
(二)有平行双平面边界的磁场(只讨论粒子垂直边界进入磁场) 1.当 时(如图3中 r1),粒子在磁场中做半圆周运动后由进入边界的 Q1点飞出磁场。则有
几何关系:PQ1=2r1 粒子运动方向改变180°。 2.当 时(如图中 ),粒子将从另一边界 Q2点飞出磁场。则有

几何关系: 粒子运动方向改变 。 总结:这类问题要特别注意粒子能否出另一边界的临界条件。还有正三棱柱 面边界磁场、正四棱柱面边界磁场的问题,其分析方法与上面相似。 〔例题〕:如图4,有很多质量为 m、电荷量为+q 的带电粒子以等大速度从 P 点沿垂直于磁场的不同方向连续射入磁感应强度为 B、磁场宽度为 d 的匀强磁 场中,求解下列问题:
要使粒子不从右边界射出,粒子速度大小应满足的条件是什么? 若粒子恰好不从右边界射出,这些粒子在磁场中所能到达的区域的面积是多 少? 若所有粒子都从 P 点垂直左边界进入磁场并从右边界 Q 点射出,速度方向 改变 角,求粒子的速度大小和粒子的偏转距离? 解析:根据题意画出粒子运动轨迹如图4。 由牛顿第二定律得

……………① 要使粒子不从右边界射出,应有
…………………②
联立①②式解得 若粒子恰好不从右边界射出,应有
此时粒子在磁场中所能到达的区域的面积为:

(3)设此时粒子速度为 V2,轨迹半径为 ,由题意及几何知识得

故有

……………③

由牛顿第二定律得 联立③④式解得

…………④

粒子偏转距离为 (三)有圆柱面边界的磁场(磁场方向与圆柱轴线平行)

1.带电粒子对准磁场圆心射入磁场
如图5所示,磁场圆半径为 R,粒子轨迹圆半径为 r,带电粒子从 P 点对准磁 场圆心 O 射入,由几何知识容易证明粒子从 Q 点飞出的速度方向的反向延长线 必过磁场圆心 O 点。则有如下关系:

物理关系:





几何关系:



特别地当 时,

,即粒子速度方向改变 。

2.带电粒子不对准磁场圆心射入磁场

如图5所示,带电粒子从 P 点射入方向发生变化时,则轨迹圆心 的位置随
之变化。当粒子沿图6所示轨迹运动时,粒子在磁场中运动时间最长、方向偏转 角最大。此时有:

联立以上四式可解得 和 ,并由

可求得入射方向角 。

讨论:

(1)由图6看出,在轨迹半径 和运动方向偏转角 一定的情况下,可实现 此偏转的最小磁场圆即为以 PQ 为直径的圆。

(2)如图7所示,由几何知识很容易证明当

时,相同带电粒子从

P 点沿纸面内不同方向射入磁场,它们离开磁场时的方向却是平行的。

总结:处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆。再如圆环形磁场区域问 题可参考(二)、(三)的分析方法求解。

〔例题〕在 平面内有许多电子(质量为 、电量为 ),从坐标原点 不
断以相同速率 沿不同方向射入第一象限,如图所示。现加一个垂直于 xoy 平面 向内、磁感应强度为 B 的匀强磁场,要求这些电子穿过磁场后都能平行于 x 轴 向 x 轴正方向运动,求符合该条件磁场的最小面积。

解析:由题意可得电子在磁场中做半径为

的匀速圆周运动。沿 轴

正方向射入的电子做 圆周运动后从 Q 点离开磁场,联想图7所示特点,若存在 一半径为 R、圆心在 O1圆形磁场区域即可到达题意要求年,如图8所示。显然, 符合条件的最小磁场区域应是圆 O1、A1相交的部分。所以:


从以上分析讨论看出,带电粒子在磁场中运动问题实质上就是利用磁场控制 带电粒子的运动方向。解决这类问题的关键是找到带电粒子运动轨迹的圆心,依 据题意画出示意图,再综合运用物理规律和数学知识求解。
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