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广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第21讲一元一次不等式组的应用培优讲义

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第 21 讲 一元一次不等式(组)的应用
考点·方法·破译 1.进一步巩固一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及它们的解集的意义,并会 简单运用? 2.会列不等式或不等式组解决一些典型的实际问题? 经典·考题·赏析 【例 1】当 x 取何有理数时,代数式

1 x?2 ? 的值不大于 1? 2 3

【解法指导】从题目中找出不等关系来,并依此列出不等式,解此不等式即可求出本题 所求“不大于” ,即是小于或等于,类似的还有“不超过” 、 “不多于” 、 “顶多为” ,另外, “不 少于” 、 “不低于” 、 “至少为”等,即为“大于或等于” ? 解:依题意得

1 x?2 ? ≤1 2 3

去分母,得 3-2(x-2)≤6 去括号,得 3-2x+4≤6 合并同类项,得 -2x≤6-3-4 即 -2x≤-1 系数化为 1,得 x ≥ ∴ 当 x 取值不小于 【变式题组】 01.如果 ?

1 1 x?2 时, ? 的值不大于 1? 2 2 3


1 2

2(1 ? x) 的值是非正数,则 x 的取值范围是( 3

B.x≥-1 C.x≥1 D.x≤1 02.当 x 取何值时,代数式 2x-5 的值:
⑴大于 0? 03.若代数式 ⑵等于 0? ⑶不大于-3?

A.x≤-1

x ?1 x ?1 x ?1 ? 的值不小于 的值,求正整数 x 的值? 3 2 6 x? y 元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原 2

【例 2】 (乐山)某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了 30 斤,价格为每斤 x 元;下午他又 买了 20 斤,价格为每斤 y 元?他以每斤 因是(

) A.x<y B.x>y C.x≤y D.x≥y 【解法指导】若要比较两个有理数 a 和 b 的大小,有一种方法就是判断 a-b 的值的正 负:若 a-b=0,则 a=b;若 a-b<0,则 a<b,反之亦然?用这种方法比较两数大小,称

x? y 的大小的问题,所谓“赔了钱” , 2 x? y x? y ? 0 变形可得 x>y,故选 就是进价 30 x ? 20 y ? 50 ? ,也就是 30 x ? 20 y ? 50 ? 2 2
之为作差比较法?本题实质就是比较 30x+20y 与 50 ?

B?
【变式题组】

1

01.如果

2 x2 ? 2x ?1 比 ? 大,则 x 的取值范围是( 3 3



A.x>1 B.x<1 C.x≤1 D.x≠1
02.试比较两个代数式 x ? x ? 2 x 与 x ? 1 的大小?
3 2 3

03.若代数式 3x ? 2 x ? 1 比 3x ? x ? 1 大,求 x 的取值范围?
2 2

【例 3】某校餐厅计划购买 12 张餐桌和一批餐椅,从甲、乙两商场了解到统一餐桌每 张均为 200 元,餐椅报价每把均为 50 元?甲商场称:每购买一张餐桌赠餐椅;乙商场称:所 有的餐桌、 餐椅均按报价的八五折销售, 那么什么情况下到甲商场购买更优惠?什么情况下 到乙商场购买更优惠? 【解法指导】餐椅的购买数量是个变量,到哪个商场购买更优惠,取决于餐椅的数量多 少?把餐椅数量设为 x 把,到甲、乙两商场购买所需费用分别设为 y 甲、y 乙,它们分别用含 x 的式子表示,再比较 y 甲、y 乙的大小即可,在求 y 甲是,应注意 x 减去 12 后,在乘以 50, 即 y 甲=200×12+50(x-12);同理 y 乙=(200×12+50x)×85%? 解:设学校计划购买 x 把餐椅,到甲、乙两商场购买所需费用分别为 y 甲元、y 乙元? 根据题意,得:y 甲=200×12+50(x-12),即 y 甲=1800+50x,

y 乙=(200×12+50x)×85%,即 y乙 ? 2040 ?
①当 y 甲<y 乙时, 1800 ? 50 x ? 2040 ?

85 x? 2

85 x, 2

解这个不等式,得 x<32? 即当购买的餐椅少于 32 把时,到甲商场购买更优惠? ②当 y 甲>y 乙时, 1800 ? 50 x ? 2040 ?

85 x, 2

解这个不等式,得 x>32? 即当购买的餐椅多于 32 把时,到乙商场购买更优惠? ③当 y 甲=y 乙时, 1800 ? 50 x ? 2040 ?

85 x, 2

解这个不等式,得 x=32? 即当购买的餐椅等于 32 把时,到两家商场购买均可? 【变式题组】 01. 某电信公司对电话缴费采取两种方式, 一种是每月缴纳月租费 15 元, 每通话 1 分钟 0.20 元;另一种是不交月租费,但每通话 1 分钟收话费 0.30 元?请问,用那种缴费方式比较 合适? 02.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为 10~25 人,甲、 乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人 200 元?经协商,甲旅行社表示可以给 予每位游客七五折优惠; 乙旅行社表示可以免去一位游客的旅游费用, 其余游客八折优 惠,该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少? 03. (潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸 箱?供应这种纸箱有两种方案可供选择: 方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为 4 元; 方案二: 由蔬菜加工厂朱琳机器自己加工制作这种纸箱, 机器租赁费按生产纸箱数收取,

2

工厂需要一次性投入机器安装等费用 16000 元,每加工一个纸箱还需要成本费 2.4 元? ⑴若需要这种规格的纸箱 x 个,请用含 x 的代数式表示购买纸箱的费用 y1(元)和蔬菜 加工厂自己加工制作纸箱的费用 y2(元) ; ⑵假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由? 【例 4】 (潍坊)为了美化校园环境,建设绿色校园,某学校准备对校园中 30 亩空地进 行绿化?绿化采用种植草皮与种植树木两种方式,要求种植草皮与种植树木的面积都不少于 3 10 亩,并且种植草皮面积不少于种植树木面积的 ,则种植草皮的最小面积是多少? 2 【解法指导】应用题中,要充分挖掘题目中所蕴含的不等关系,一个也不能遗漏,否则 就会出错? 注意到题中表示不等关系的关键词语“不少于” ,这是列不等式的依据?显然,本题中有 三个不等式关系: ①种植草皮与种植树木的面积都不少于 10 亩;②种植草皮面积不少于种植树木面积的 3 ,根据这三个不等关系可以求出种植草皮的面积的范围? 2 解:设种植草皮的面积为 x 亩,则种植树木的面积为(30-x)亩,

? ? x ≥ 10 ? 则有 ?30 ? x ≥ 10 ,解得 18≤x≤20?故 x 的最小值为 18? ? 3 ? x ≥ (30 ? x) ? 2
答:种植草皮的最小面积为 18 亩? 【变式题组】 01.2017 年某厂制定某种产品的年度生产计划,现有如下数据供参考: ⑴生产此产品的现有工人为 400 人; ⑵每名工人的年工时约计 2200 小时; ⑶预测 2018 年的销售量在 10 万箱到 17 万箱之间; ⑷每箱需用工 4 小时,需用料 10 千克; ⑸目前村料 1000 吨,2007 年还需用料 1400 吨,到 2007 年底可补充原料 2000 吨? 试根据以上数据确定 2008 年可能生产的产量,并根据产量确定工人人数? 02.某公司在下一年度计划生产出一种新型环保冰箱,下面是公司各部门提出的数据信息; 人事部:明年生产工人不多于 80 人,每人每年工作时间 2400h 计算; 营销部:预测明年年销量至少为 10000 台; 技术部:生产 1 台电冰箱*均用 12 个工时,每台机器需要安装 5 个某种主要部件; 供应部:今年年终库存主要部件 1000 件,明年能采购到这种主要部件 80000 件? 根据上述信息,下一年度生产新型冰箱数量应该在什么范围内? 【例 5】 (襄樊) “六一”儿童节前夕,某消防官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小 朋友喜欢奥运福娃,就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物?如果每班分 10 套,那么余 5 套;如果前面的班级每个班分 13 套,那么最后一个班虽然分得有福娃,但不 足 4 套?问:该小学有多少个班级?奥运福娃共有多少套? 【解法指导】抓住题中的关键词“虽然分有福娃,但不足 4 套”来建立不等式组,这是 本题的关键所在? 解:设该小学有 x 个班,则奥运福娃共有(10x+5)套,

3

根据题意,得 ?

?10 x ? 5 ? 13( x ? 1) ? 4 ① ?10 x ? 5 ? 13( x ? 1) ②

14 解①得x> ,解②得 x<6? 3 因为 x 只能取正整数,所以 x=5,此时 10x+5=55? 答:该小学有 5 个班级,奥运福娃共有 55 套? 【变式题组】 01.幼儿园有玩具若干份,分给小朋友,如果每个小朋友分 3 件,难么还剩 59 件;如果每 个小朋友分 5 件, 那么最后一个小朋友还少几件, 这个幼儿园有多少玩具?有多少个小 朋友? 02.某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们?若每名学 生送 3 本,则还余 8 本;若前面每名学生送 5 本,则最后一名学生得到的课外读物不足 3 本?设该校买了 m 本课外读物,有 x 名学生获奖,请你解答下列问题? ⑴用含 x 的代数式表示 m; ⑵求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数? 【例 6】某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,现计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件,已知生产一件 A 产品需要甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克;生产 一件 B 产品,需要甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,则工厂安排 A、B 两种产品的生产件 数,有哪几种方案?请你设计出来? 【解法指导】此为典型的材料供应类设计方案的应用题,题中的不等关系不很明显,但 经过认真分析, 结合生活实际仍可挖掘出题中所蕴含的不等关系, 即生产所使用的甲种原料 总量不得超过 360 千克, 乙原料总量不得超过 290 千克, 据此可以列出两个一元一次不等式, 从而组成一元一次不等式组? 此类题的不等关系不十分显眼,发掘不等关系是解决此类题之关键所在? 解:设安排生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(50-x)件?根据题意,得

?9 x ? 4(50 ? x) ≤ 360 ,解这个不等式组,得 30≤x≤32? ? ?3x ? 10(50 ? x) ≤ 290
因为 x 需要取整数,所以 x 可以取 30、31、32,对应 50-x 应取 20、19、18? 故可设计三种方案:A 种产品 30 件,B 种产品 20 件;A 种产品 31 件,B 种产品 19 件; A 种产品 32 件,B 种产品 18 件? 【变式题组】 01. (泰州)*期以来,大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升,网民戏称“蒜你狠” 、 “豆你玩” ? 以绿豆为例,5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克?市政府决定采取价格临时干 预措施,调进绿豆以*抑市场价格?经市场调研预测,该市每调进 100 吨绿豆,市场价 格就下降 1 元/千克?为了既能*抑绿豆的市场价格, 又要保护豆农的生产积极性, 绿豆 的市场价格控制在 8 元/千克到 10 元/千克之间 (含 8 元/千克和 10 元/千克) ?问调进绿 豆的吨数应在什么范围内为宜? 02. (深圳)迎接亚运,美化深圳,园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙 种花卉搭配 A、B 两种园艺找些共 50 个摆放在迎宾大道两侧?已知搭配一个 A 种造型需 甲种花卉 80 盆,乙种花卉 40 盆,搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆? ⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计, 问符合题意的搭

4

配方案有几种?请你帮助设计出来; ⑵若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元, 搭配一个 B 种造型的成本是 960 元, 试说明⑴ 中哪种发案成本最低?最低成本是多少元? 03. (桂林)某校初三年级春游,现有 36 座和 42 座两种客车供选择租用,若只租用 36 座客 车若干辆,则正好坐满;若只租用 42 座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满, 但超过 30 人;已知 36 座客车每辆租金 400 元,42 座客车每辆租金 440 元? ⑴该校初三年级共有多少人参加春游? ⑵请你帮该校设计一种最省钱 的租车方案? ... 【例 7】 (第 17 届江苏省竞赛题)如果关于 x 的不等式组 ?

?7 x ? m ≥ 0 ?6 x ? n ? 0

的整数解仅为 1,

2,3,那么适合这个不等式组的整数对(m,n)共有( )对 A.49 B.42 C.36 D.13 【解法指导】 本题属于 “由不等式的解集中包含的整数解来确定字母系数的值” 这类题, 此类题首先根据不等式组的解集包含哪些整数来确定每个边界点的范围, 据此求出符合条件 的字母系数的值? 解:由此不等式组得到其解集是 ∵此解集中仅含有整数 1,2,3? ∴0 ?

m n ≤x? ? 7 6

m n ≤ 1 ,即 0 ? m ≤ 7 ,且 3 ? ≤ 4 即 18 ? n ≤ 24 7 6

故 m=1,2,3,4,5,6,7,n=19,20,21,22,23,24 故符合此不等式组的整数对(m,n)共有 6×7=42 对,即本题选 B? 【变式题组】

?3x ? a ? 0 ? 01. (江苏赛题)已知:关于 x 的不等式组 ? 的整数杰有且仅有 4 个:-1,0,1, b x? ? ? 2
2,那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a,b)共有多少个? 演练巩固 反馈提高 01.用不等式表示: ⑴x 与 2 的和小于 5________________; ⑵a 与 b 的差是非负数_________________? 02.若 x<y,则 x-y______y-2;5-x_______5-y;a x_______a y;- _____- ; 3 5
2 2

x

y

x(a2+1)______ y(a2+1)?
03.不等式组 ?

?x ? 5 ≤1 ?2 x ? 3 ? 0

的解集是___________,其整数解是__________?

04.关于 x 的不等式组 ?

?x ? a ? 0 的整数解共有 6 个,则 a 的取值范围是 ?3 ? 2 x ? 0

?

05.已知:三角形的两边为 3 和 4,则第三边 a 的取值范围是_________________?

5

06.若不等式(a-5)x>1 的解集是 x>

1

a-5

,则 a 的取值范围是__________________?

07.如果不等式组 ?

? x ? 7 ? 3x ? 7 的解集是 x>7,则 n 的取值范围是( ?x ? n



A.n≥7 B.n≤ C.n=7 D.n<7 08.若 abcd>0,a+b+c+d>0,则 a、b、c、d 中负数的个数至少有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
09.如果 ?



2(1 ? x) 是非正数,则 x 的取值范围是( 3
D.x≤1



A.x≤1 B.x≥1 C.x≥1
10.已知:关于 x 的不等式组 ?

?5 ? 2 x ≥ 1 ?x ? a ? 0

无解,则 a 的取值范围是(



A.a>3 B.a≥3 C.0<a<3 D.a≤3
11. (河南)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同 的优惠方案:在甲超市累计购买商品超过 300 元之后,超出部分按原价 8 折优惠;在乙 超市累计购买商品超过 200 元后,超出部分按原价 8.5 折优惠,设顾客预计累计购物 x 元(x>300) ? ⑴请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所需费用; ⑵试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由?

12.七⑵班共有 50 名学生,老师安排每人制作一件 A 型或 B 型的陶艺品,学校现有甲种制 作材料 36kg,乙种制作材料 29kg,制作 A、B 两种型号的陶艺品用料情况如下表: 需甲种材料 1 件 A 型陶艺品 1 件 B 型陶艺品 0.9kg 0.4kg 需乙种材料 0.3kg 1kg

⑴设制作 B 型陶艺品 x 件,求 x 的取值范围; ⑵请你根据学校现有的材料分别写出七⑵班制作 A 型和 B 型陶艺品的件数?

13. (济南)某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动,行李共有 100 件,学校计划租用 甲、乙两种型号的汽车共 8 辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李,乙 种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李?
6

⑴设租用甲种汽车 x 辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案; ⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元,那么请你帮助选择哪 一种租车方案更节省费用?

14. (威海)响应“家电下乡”的惠农政策,某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型 号的电冰箱 80 台,其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的 2 倍,购买三种电冰箱 的总金额不超过 132000 元?已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为 1200 元/台、 1600 元/台、2000 元/台? ⑴至少购进乙种电冰箱多少台? ⑵若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数,则有哪些购买方案?

15. (中山)某学校组织 340 名师生进行长途考察活动,带有行李 170 件,计划租用甲、乙 两种型号的汽车 10 辆?经了解, 甲车每辆最多能载 40 人和 16 件行李, 乙车每辆最多能 载 30 人和 20 件行李? ⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案; ⑵如果甲车的租金为每辆 2000 元, 乙车的租金为每辆 1800 元, 问哪种可行方案使租车 费用最省?

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?9 x ? a ≥ 0 01.如果不等式组 ? 的整数解仅为 1,2,3,那么适合这三个不等式组的整数 a、 ?8 x ? b ? 0
7

b 的有序数对(a,b)共有( )对? A.17 B.64 C.72 D.81 02. (全国数学竞赛题)设 a、b、c 的*均数为 M,a 与 b 的*均数为 N,N 与 C 的*均数为 P,若 a>b>c,则 M 与 P 的大小关系是( ) A.M=P B.M>P C.M<P D.不确定的 03. (第 18 届江苏省竞赛题)a1、a2、?、a2004 都是正数,如果 M=(a1+a2+?+a2003)(a2+ a2+?+a2004), N=(a1+a2+?+a2004)( a2+a2+?+a2003), 那么 M、 N 的大小关系是 ( ) A.M>N B.M=N C.MN D.不确定的
04. ( “希望杯”邀请赛试题)设 m ?

a?2 a ?1 a ,n ? ,p ? ,若 a<-3,则( a?3 a?2 a ?1



A.m<n<p B. n<p<m C. p<n<m D.p<m<n 05. ( “希望杯”邀请赛试题)已知:a、b、c、d 都是整数,且 a<2b,b<3c,c<4d,d< 50,那么 a 的最大值是( ) A.1157 B.1167 C.1191 D.1199

?x?4 x ? ?1 ? 06. ( “CHSIO 杯”河南省竞赛题)已知关于 x 的不等式组 ? 3 2 的解集为 x<2,那 ? ?x ? a ? 0
么 a 的取值范围是________________? 07. (浙江省复赛题)正六边形轨道 ABCDEF 的周长为 7.2 米,甲、乙两只机器鼠分别冲 A、 C 两点同时出发,均按 A→B→C→D→E→F→A→?方向沿轨道奔跑,甲的速度为 9.2 厘 米/秒,乙的速度为 8 厘米/秒,那么出发后经过_______秒钟时,甲、乙两只机器鼠第 一次出现在同一条边上? 08. ( “CHSIO 杯”河南省竞赛题)为了保护环境,某企业决定购买 10 台污水处理设备?现有 A、B 两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表?经计算,该企 业购买设备的资金不高于 105 万元,请你设计,该企业购买方案有_______种?

A型
价格(万元/台) 处理污水量(吨/ 月) 年消耗费(万元/ 台) 12 240 1

B型
10 200 1

09. (北京市竞赛题)大、中、小三个正整数,大数与中数之和等于 2003,中数减小数之差 等于 1000,那么这三个正整数的和为_____________? 10. (四川省竞赛题) 已知不等式 ax+3≥0 的正整数解为 1, 2, 3, 则 a 的取值范围是______ ?

11. (黄冈市选拔赛试题)小慧上宝塔观光,他发现:若上了 7 阶楼梯时,剩下的楼阶梯数 是已上的阶数的 3 倍多, 若再多上 15 阶楼梯时, 已上阶数是剩下的楼梯阶数的 3 倍多, 那么,此宝塔的楼梯一共有多少阶?

8

12.若正整数 x<y<z,k 为整数,且

1 1 1 ? ? ? k ,试求 x、y、z 的值? x y z

13. (华杯决赛题)已知:a1+2a3≥3a2,a2+2a4≥3a3,a3+2a5≥3a4,?,a8+2a10≥3a9,a9 +2a1≥3a10,a10+2a2≥3a1,且有 a1+a2+a3+?+a10=100,求 a1,a2,a3,?,a9,a10 的值?

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