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2020版高考数学理科(人教B版)一轮复*课件:高考大题专项6+高考中的概率与统计_图文

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高考大题专项六 高考中的概率与统计

考情概览·备考定向

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一、考查范围全面 概率与统*獯鹛舛灾兜愕目疾榻衔,*五年的试题考点 覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法, 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关 系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件 的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学 期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基 本方法.

考情概览·备考定向

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二、考查方向分散 从*五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面: 一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检 验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样 方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计 与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频 率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与 方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二 项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分 布与随机变量的期望和方差相结合综合考查. 三、考查难度稳定 高考对概率与统*獯鹛獾目疾槟讯任榷,多年来都控制在中等 或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的 位置.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型一 相关关系的判断及回归分析 例1(2018黑龙江模拟,19)班主任为了对本班学生的考试成绩进行 分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7 的样本进行分析. (1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写 出算式即可,不必计算出结果) (2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如 下表:
学生序号 i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩 xi 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩 yi 70 77 80 85 90 86 93

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同

学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列

和数学期望;

②根据上表数据,求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系

数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的

物理成绩为多少分?

附:线性回归方程^=bx+a,

n
其中 b=i=∑1(-)(2-),a=-b.
=∑1(-)

x

y

7


(xi

-x)2

i=1

76 83 812

7
∑ (xi-x)(yi-y)
i=1
526

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解 (1)依据分层抽样的方法,

24

名女同学中应抽取的人数为 7
42

×24=4

名,

18

名男同学中应抽取的人数为 7
42

×18=3

名,

故不同的样本的个数为C244 C138 .

(2)①∵7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3 名,

∴ξ 的取值为 0,1,2,3.

∴P = 0

=

C43 C73

=

345,P



=

1

=

C42C31 C73

=

1385,

P = 2

=

C41C32 C73

=

1325,P



=

3

=

C33 C73

=

315.

∴ξ 的分布列为

ξ0 1 2 3

P

4 35

18 35

12 35

1 35

∴E



=0× 345+1× 1385+2× 1325+3×

1 35

=

97.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

②∵b=582162 ≈0.65,a=-b× =83-0.65×76=33.60.
∴线性回归方程为^ =0.65x+33.60. 当 x=96 时,^=0.65×96+33.60=96.
可预测该同学的物理成绩为 96 分.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解题心得在求两变量相关系数和两变量的回归方程时,由于r和 ^
的公式组成比较复杂,求它们的值计算量比较大,为了计算准确,可
将其分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高
了计算的准确度.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

对点训练1(2018安徽蚌埠一模,19)某图书公司有一款图书的历史
收益率(收益率=利润÷每本收入)的频率分布直方图如图所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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(1)试估计*均收益率;(用区间中点值代替每一组的数值) (2)根据经验,若每本图书的收入在20元的基础上每增加x元,对应 的销量y(万本)与x(元)有较强的线性相关关系,从历史销售记录中 抽样得到如下5组x与y的对应数据.

x(元)

25 30 38 45 52

销量 y(万本) 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8

据此计算出的回归方程为^=10.0-bx.

①求参数 b 的估计值;

②若把回归方程^y=10.0-bx 当作 y 与 x 的线性关系,x 取何值时,

此产品获得最大收益?求出该最大收益.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解 (1)区间中值依次为:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55,取值的估计概 率依次为:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05, 故*均收益率为

0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55

×0.05=0.275.

(2)①

=

25+30+38+45+52 5

=

1950=38,



=

7.5+7.1+6.0+5.6+4.8 5

=

351=6.2,

将(38,6.2)代入 y=10.0-bx,得 b=10.308-6.2=0.10.

②设每本图书的收入是20+x元,则销量为y=10-0.1x,

则图书总收入为y=(20+x)(10-0.1x)=200+8x-0.1x2=360-0.1(x-40)2,

当x=40时,图书公司总收入最大为360万元,

预计获利为360×0.275=99万元.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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题型二 独立性检验的综合问题 例2(2018全国3,理18改)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活 动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生 产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一 组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工 人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由. (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生 产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表:
超过 m 不超过 m
第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表,分析两种生产方式的效率是否有差异?

附:χ2=(11+122+2-+112+212)2.

P(χ2>k0) 0.05 0.010

k0

3.481 6.635

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解 (1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下:
①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成
生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75% 的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的 效率更高.
②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时
间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所 需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务*均所
需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务*均所 需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时
间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方 式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致 呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布 的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时 间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种 生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均 可得分.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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(2)由茎叶图知 m=79+281=80. 列联表如下:

超过 m 不超过 m

第一种生产方式 15

5

第二种生产方式 5

15

(3)由于 χ2=4200(1×52×01×52-05××250)2=10>6.635, 所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出2×2列联
表;(2)计算随机变量χ2的值;(3)查临界值,检验作答.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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对点训练2(2018广东佛山一模,18改)有甲、乙两家公司都愿意聘

用某求职者,这两家公司的具体聘用信息如下:

甲公司

职位

A

B

C

D

月薪/元 获得相应职位概率

6 000 0.4

7 000 0.3

8 000 0.2

9 000 0.1

乙公司

职位

A

B

C

D

月薪/元

5 000 7 000 9 000 11 000

获得相应职位概率 0.4

0.3

0.2

0.1

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

(1)根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司?说明

理由;

(2)某课外实*作业小组调查了1 000名职场人士,就选择这两家

公司的意愿作了统计,得到如下数据分布:

人员结构 40 岁以上 40 岁以上 40 岁以 40 岁以

选择意愿 (含 40 岁)男性(含 40 岁)女性下男性

下女性

选择甲公司 110

120

140

80

选择乙公司 150

90

200

110

若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到χ2=5.551 3,得 出“选择意愿与年龄有关系”的结论的把握是多少?并用统计学知识 分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大?

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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附:χ2=(11+122+2-+112+212)2. P(χ2>k0) k0

0.050 3.481

0.010 6.635

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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解 (1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X,Y,
则E(X)=6 000×0.4+7 000×0.3+8 000×0.2+9 000×0.1=7 000, E(Y)=5 000×0.4+7 000×0.3+9 000×0.2+11 000×0.1=7 000, D(X)=(6 000-7 000)2×0.4+(7 000-7 000)2×0.3+(8 000-7 000)2 ×0.2+(9 000-7 000)2×0.1=1 0002, D(Y)=(5 000-7 000)2×0.4+(7 000-7 000)2×0.3+(9 000-7 000)2 ×0.2+(11 000-7 000)2×0.1=2 0002,
则E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 答:我希望不同职位的月薪差距小一些,选择甲公司;(或:我希望不 同职位的月薪差距大一些,选择乙公司)

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

(2)因为12=5.551 3>3.841,根据表中对应值, 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的把握是 95%,
由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 2×2 列联表
如下:

选择甲公司 选择乙公司 总计



250

350

600



200

200

400

总计 450

550

1 000

计算得22=1

000×(250×200-350×200)2 600×400×450×550

=

2 000 297

≈6.734,

6.734>6.635,

对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的把握是 99%,

由 99%>95%,所以与年龄相比,选择意愿与性别关联性更大.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型三 离散型随机变量的分布列(多维探究) 类型一 互斥事件、独立事件的概率及分布列 例3(2018江西南昌三模,19)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生 产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克) 分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格. (1)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4个进行检测,若至少2 个合格,检测即可通过,若至少3个合格,检测即为良好,求甲车间在 这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率; (2)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X表示乙 车间的零件个数,求X的分布列与数学期望.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解 (1)设事件A表示“2个合格,2个不合格”;事件B表示“3个合格,1个

不合格”;事件C表示“4个全合格”;事件D表示“检测通过”;事件E表

示“检测良好”.

∴P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=CC42 C84 42

+

C43C41 C84

+

C44 C84

=

5730.

∴P(

D)=(())

+

() ()

=

1573.故所求概率为1573.

(2)X 的可能取值为 0,1,2,

P(X=0)=CC12822 = 1343,P(X=1)=CC4112C281 = 1363,P(X=2)=CC12422 = 111, 分布列为

X0 1 2

14 16 1 P
33 33 11

所以,E(X)=0×

1343+1×

1363+2×

1 11

=

23.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类 问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单 而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

类型二 古典概型及分布列的综合

例4为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组

各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生

理指标x和y的数据,并制成下图,其中“* ”表示服药者,“+”表示未服

药者.

(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60 的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标 x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指 标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解 (1)由题图知,在服药的 50 名患者中,指标 y 的值小于 60 的有 15

人,所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 y 的值小于 60

的概率为1550=0.3. (2)由题图知,A,B,C,D 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人:A

和 C.所以 ξ 的所有可能取值为 0,1,2.P(ξ=0)=CC2242 = 16,P(ξ=1)=CC21C4221 = 23,P(ξ=2)=CC2242 = 16.
所以 ξ 的分布列为

ξ 012 121
P 636
故 ξ 的期望 E(ξ)=0× 16+1× 23+2× 16=1. (3)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者
指标 y 数据的方差.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

类型三 二项分布

例5(2018河南开封一模,19改)*年来我国电子商务行业迎来蓬勃

发展的新机遇,2017年双11期间,某购物*台的销售业绩高达1 271亿

人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评

价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,

对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都

做出好评的交易为80次.
(1)完成下面的 2×2列联表,并分析商品好评与服务好评是否有关?

对服务好评 对服务不满意 合计

对商品好评

对商品不满意

合计

200

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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(2)若将频率视为概率,某人在该购物*台上进行的3次购物中,设 对商品和服务全好评的次数为随机变量X.
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列; ②求X的数学期望和方差.
附:

P(χ2>k0) k0 (χ2=(11+122+2-+112+212)2.)

0.05 3.481

0.010 6.635

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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解 (1)由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下:

对服务好评 对服务不满意 合计

对商品好评

80

40

120

对商品不满意 70

10

80

合计

150

50

200

χ2=20102×0(×808×0×101-5400××5700)2 ≈11.111>6.635, 故有 99%的把握认为商品好评与服务好评有关.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

(2)①每次购物时,对商品和服务全为好评的概率为25,且 X 的取
值可以是 0,1,2,3.

其中 P(X=0)=

3 5

3=12275,

P(X=1)=C31

2 5

3 5

2= 54 ,
125

P(X=2)=C32

2 5

2

3 5

=13265,

P(X=3)=C33

2 5

3=1285,

X 的分布列为:

X0

1

2

3

27 54 36

8

P

125 125 125 125

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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②∵X~B 3,25 ,

∴E(X)=3×

2 5

=

65,

D(X)=3×

2 5

×

3 5

=

1285.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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解题心得对于实际问题中的随机变量 X,如果能够断定它服从二项 分布 B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式 P(X=k)=
C pk(1-p) -k (k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二 项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确 度.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

对点训练3(2018湖南株洲一模,19)某协会对A,B两家服务机构进

行满意度调查,在由A,B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽

取了1 000人,每人分别对这两家服务机构进行评分,满分均为60分.

整理评分数据,将分数以 10 为组距分成6 组:[0,10),[10,20),

[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A服务机构分数的频数分布表,B

服务机构分数的频率分布直方图,如下.

A服务机构分数的频数分布表

分数区间 频数

[0,10)

20

[10,20)

30

[20,30)

50

[30,40)

150

[40,50)

400

[50,60]

350

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

B 服务机构分数的频率分布直方图

定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:

分数

[0,30) [30,50) [50,60]

满意度指数 0

1

2

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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(1)在抽样的1 000人中,求对B服务机构评价“满意度指数”为0的 人数;
(2)从由A,B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进 行调查,试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构 评价的“满意度指数”高的概率;
(3)如果从A,B服务机构中选择一家服务机构,你会选择哪一家?说 明理由.

关键能力·学案突破

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题型一

题型二

题型三

题型四

解 (1)由对B服务机构分数的频率分布直方图,得:
对B服务机构“满意度指数”为0的频率为
(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,
所以,对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数为
1 000×0.2=200.
(2)设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意
度指数’高”为事件C.
记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1;“对B服务机构 评价‘满意度指数’为2”为事件B2;
“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0;“对A服务机构评 价‘满意度指数’为1”为事件A1.
所以P(B1)=(0.02+0.02)×10=0.4,P(B2)=0.4,

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-38-

用频率估计概率得:P(A0)=0.1,P(A1)=0.55, 因为事件Ai与Bj相互独立,其中i=1,2,j=0,1. 所以P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)=0.3, 所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评
价的“满意度指数”高的概率为 0.3.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-39-

(3)如果从学生对A,B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角 度看,B服务机构“满意度指数”X的分布列为:

X0

1

2

P 0.2 0.4 0.4

A服务机构“满意度指数”Y的分布列为:

Y0

1

2

P 0.1 0.55 0.35

因为E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2; E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25,
所以E(X)<E(Y),会选择A服务机构.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-40-

题型四 样本的均值、方差与正态分布的综合

例6(2018山东日照三模,19)在创建“全国文明卫生城”过程中,某

市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城

知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问

卷调查的100人的得分(满分100分)统*峁缦卤硭:

组别 频数

[30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

2

15 20 25 24 10 4

关键能力·学案突破

-41-

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下

奖励方案:
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1

次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:

赠送话费的金额(单位:元) 概率

20 40 31
44

现有市民甲参加此次问卷调查,记ξ (单位:元)为该市民参加问卷

调查获赠的话费,求ξ的分布列与数学期望. 附:参考数据与公式: 198≈14. 若 X~N ,2 ,则 P - < ≤ + =0.682 6,P -2 < ≤

+ 2 =0.954 4, P -3 < ≤ + 3 =0.997 4.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-42-

解 (1)E(Z)=35×0.02+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.24+85×0.1 +95×0.04=65,故 μ=65,
σ= 198 ≈14,∴P(65-14<Z≤65+14)=P(51<Z≤79)=0.682 6,
P(65-2×14<Z≤65+2×14)=P(37<Z≤93)=0.954 4.
∴P(37<Z≤51)=(37<≤93)2-(51<≤79)=0.135 9.
综上,P(37<Z≤79)=P(37<Z≤51)+P(51<Z≤79) =0.135 9+0.682 6=0.818 5.

关键能力·学案突破

-43-

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)易知 P(Z<μ)=P(Z≥μ)=12,

获赠话费 ξ 的可能取值为 20,40,60,80.

P(ξ=20)=12

×

3 4

=

38;

P(ξ=40)=12

×

1 4

+

1 2

×

3 4

×

3 4

=

1332;

P(ξ=60)=12

×

3 4

×

1 4

+

1 2

×

1 4

×

3 4

=

136;

P(ξ=80)=12

×

1 4

×

1 4

=

312.

ξ 的分布列为:

ξ 20 40 60 80

P

3 13 3 1

8 32 16 32

∴E(ξ)=20× 38+40× 1332+60× 136+80× 312=37.5.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-44-

解题心得解决正态分布有关的问题,在理解μ,σ2意义的情况下,记 清正态分布的密度曲线是一条关于x=μ对称的钟形曲线,很多问题 都是利用图象的对称性解决的.

关键能力·学案突破

-45-

题型一

题型二

题型三

题型四

对点训练4在某市高中某学科竞赛中,某一个区4 000名考生的参 赛成绩统计如图所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-46-

(1)求这 4 000 名考生的竞赛*均成绩 (同一组中数据用该组 区间中点作代表);
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服从正态分布 N(μ,σ2),其中 μ,σ2 分别取考生的*均成绩和考生成绩的方差 s2,那么该区 4 000 名考生成绩超过 84.81 分(含 84.81 分)的人数估计有多少人?
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的 成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生,记成绩不超过 84.81 分的考生人数为 ξ,求 P(ξ≤3).(精确到 0.001)
附:①s2=204.75, 204.75=14.31; ②z~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<z<μ+σ)=0.682 6,
P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.954 4;
③0.841 34=0.501.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

-47-

解 (1)由题意知:

中间值 45 55

65 75 85

95

概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1

∴ =45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,
∴4 000 名考生的竞赛*均成绩为 70.5 分.
(2)依题意 z 服从正态分布 N(μ,σ2), 其中 μ==70.5,σ2=Dξ=204.75,σ=14.31,
∴z 服从正态分布 N(μ,σ2)=N(70.5,14.312),
而 P(μ-σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.682 6,

∴P(z≥84.81)=1-0.6282 6=0.158 7. ∴竞赛成绩超过 84.81 分的人数估计为
0.158 7×4 000=634.8 人≈635 人.

题型一

题型二

题型三

题型四

关键能力·学案突破

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(3)全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率为1-0.158 7=0.841 3. 而ξ~B(4,0.841 3),
∴P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-C44 ×0.841 34=1-0.501=0.499.



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